高等代數發展數學思維工具的功能研究

摘 要 高等代數是高師數學專業的主干專業基礎課之一，蘊涵著豐富的數學思想和方法，歷來以嚴密性、抽象性、邏輯性著稱。結合這門課程的特點，本文從發展問題解決技能、表征技能和推理技能這三個方面研究它對發展數學思維工具的功能。

關鍵詞 高等代數 數學思維工具 功能 技能

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A

代數教育的思維價值，在我國數學教育界一直受到充分的肯定和重視。高等代數是高師數學專業一門重要的基礎課，幾乎是所有后繼課程的基石。它的思想、理論和研究方法在諸多的科學技術領域發揮了重要的工具性作用，在高師大學生數學素質教育和創新人才培養工程中具有巨大的文化價值。通過對高等代數知識結構、思想方法的理解和掌握，可以完善人的思維認知結構，發展數學思維工具，體現高等代數教育的思維價值。

下面，結合高等代數這門課程的特點，分別從發展問題解決技能，發展表征技能和發展推理技能這三個方面研究高等代數對發展數學思維工具的功能，從而體現高等代數教育的思維價值。

1 發展問題解決技能

在數學背景下，問題解決技能主要體現于會使用問題解決策略和探索多種解決方法兩個方面，有問題解決策略工具包（例如，猜測和檢查、列清單、逆向工作、利用模型、解決簡單一點的問題，等等）的學生遇到問題時更容易入手處理問題，并發現如何解決。此外，留給學生用多樣的方法去探索數學問題的機會，或設計有多種解法的數學問題，可使學生發展更好的問題解決技能。

高等代數課程概念多，符號多，定理多，運算規律多，內容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系，其中滲透著豐富的數學思想，諸如，轉換變換思想、歸納演繹思想、函數映射思想、集合與對應思想、公量化與結構思想、符號模型思想、數學審美思想等，對于豐富學生的問題解決策略工具包具有良好的幫助。在具體教學中，可通過結合有關內容使學生學會如何從客觀實際中或數學本身的發展中抽象出概念，學會如何提出數學問題，如何對所提出的問題進行探索，如何對初步形成的想法（猜測）進行論證等，來發展學生的問題解決技能。

例如，在講授階行列式的定義時，可從分析二階、三階行列式展開中的項數、項的結構、項的符號入手，與列指標構成的排列的奇偶性關系，提出如何推廣二階和三階的結果到任意階的問題，通過引導學生探索項的符號與列指標構成的排列的奇偶性關系，提出需給出元排列、奇、偶排列的問題，最后得到階行列式的定義。

例如，在講授復系數與實系數一元多項式一節時，可從復習提問一般數域上一元多項式的主要研究問題入手，進而提出本節新課要研究的主要問題：在復數域和實數域上怎樣的多項式是不可約的？次多項式 （）的標準分解式是怎樣的？次多項式 （）有多少個根？等問題，通過引導學生探索，總結出本節課的主要結論。

再如，在講完行列式這章后可提出問題：如何對一般的線性方程組直接從它的系數和常數項判斷方程組有無解、有多少解？通過引導學生觀察高斯消元法的過程，發現很自然地要引入矩陣及其運算，向量及其相關理論。

另外，在高等代數中不乏可用多種方法去探索與解決的數學問題，教學中善于挖掘并充分應用好它們，也可使學生的問題解決技能得到更好的發展。比如，文獻[2]分別借助矩陣代數、線性空間、線性變換和矩陣等四套相關理論，用五種方法分別解答了一道幾乎涉及高等代數所有主要內容的習題：令為一數域，，≥2。證明，若 = = 0，≠0且≠0，則與在上相似（即，存在上的可逆矩陣，使得 = ）。

總之，在高等代數教學中有意識滲透對問題解決策略的使用，挖掘或設地有多種解法的數學問題，可大大提高學生對課程的興趣，同時培養學生的問題意識以及舉一反三、觸類旁通的能力，提高學生學習的主動性以及分析問題解決問題的能力，從而發展問題解決技能。

2 發展表征技能

數學知識表征是記載和表達數學知識的方式，即數學知識或信息在學習者頭腦中是如何表示的，表征的形式也可以稱為表征的編碼。通常一個好的數學探索應包括多種表征，因為每個形式都對理解呈現的思想有所貢獻。創造、解釋和翻譯不同表征的能力可以帶給學生有力的數學思維工具。

高等代數中的矩陣表示貫穿了各個章節，通過矩陣表示，許多高等代數問題都可歸結于矩陣問題，有意識總結、挖掘、利用好它們，可發展學生的表征技能。例如，線性方程組可用它的增廣矩陣表示。在線性空間中，取定一個基后， 向量可由它的坐標組成的行矩陣或列矩陣表示；向量組可由各個向量的坐標組成的矩陣表示；兩個基之間的關系可由它們的過渡矩陣表示，線性空間的線性映射、線性變換、線性函數、雙線性函數等都可用矩陣表示。在歐氏空間里，取定一個標準正交基后，正交變換可用正交矩陣表示，對稱變換可用對稱矩陣表示等等，所以許多人說線性代數實質上是矩陣代數。

高等代數中的有些概念可以從不同的角度予以等價的描述，善于挖掘并充分應用好它們，可使學生的表征技能得到更好的發展。例如：矩陣 = 為對稱矩陣，既可用 = （ = 1，2，3…）來定義，也可用 = 來定義。前者著眼于元素，它清楚地反映了矩陣元素在相關位置上的特點，后者從整體上揭示了矩陣的特征，反對稱矩陣也有類似的情況。它們的表征形式不同，使得在不同情況下使用的方便程度大不一樣。

3 發展推理技能

眾所周知，推理主要有歸納推理和演繹推理。演繹推理是從一般規律出發，運用邏輯證明或數學運算，得出特殊事實應遵循的規律，即從一般到特殊。歸納推理就是從許多個別的事物中概括出一般性概念、原則或結論，即從特殊到一般。

在高等代數中，由于大量存在性、唯一性和結構與表述復雜的命題、法則的存在，使探索發現過程的歸納推理及論證過程的演繹推理，變得異常復雜；許多的推理過程，還往往需要辨證地思考。因此，通過高等代數的學習，可以大大促進各種推理能力的提高和思維的發展，從而發展推理技能。

總之，在高等代數教學中注意發展數學思維工具，按照代數的思維方式進行教學，可使學生在學習高等代數知識的過程中，受到代數思維方式的熏陶，從而使他們今后不論從事何種工作，都會應用這些科學的思維方式進行嚴密的分析，抓住主要矛盾，減少失誤，把工作做得更加有條有理，開創新的工作局面，從而終身