用Matlab輔助解析幾何教學(xué)

摘 要 解析幾何是用數(shù)形滲透的思想結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)來解決代數(shù)問題，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的一門學(xué)科。將Matlab的圖形動(dòng)畫功能應(yīng)用于該課程教學(xué)，采用數(shù)形結(jié)合的方法可使課堂生動(dòng)形象并能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效率。本文以二次曲面圖形問題為例，從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)角度去分析演示圖像的生成過程，說明Matlab在輔助解析幾何教學(xué)中的作用。

關(guān)鍵詞 Matlab 解析幾何 二次曲面 輔助教學(xué)

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0 引言

解析幾何是高等幾何學(xué)的基礎(chǔ)，是研究代數(shù)問題的一門學(xué)科，目前解析幾何的教學(xué)依舊比較傳統(tǒng)老舊，許多曲面的形成和變換過程還是由老師來講授，這樣就很難形象生動(dòng)地講授曲面之間的聯(lián)系與變換。Matlab具有強(qiáng)大的圖形繪制功能，在解析幾何教學(xué)中，如果應(yīng)用Matlab的圖形功能對(duì)圖形進(jìn)行靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的可視化演示，就能很好地達(dá)到數(shù)形結(jié)合，①將問題簡(jiǎn)單化的目的，對(duì)提高教學(xué)效果和培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力有著很大的作用。本文選取了解析幾何課程中二次曲面圖形問題為例，說明Matlab在輔助解析幾何教學(xué)中的作用。

1 Matlab圖形功能簡(jiǎn)介

Matlab圖形處理功能十分強(qiáng)大，它能使高等數(shù)學(xué)中復(fù)雜的函數(shù)問題通過幾條簡(jiǎn)單的命令繪制出理想的圖像，從而將函數(shù)關(guān)系和圖形緊密的結(jié)合起來，②使得高等數(shù)學(xué)問題更加具體形象。用Matlab輔助解析幾何教學(xué)，可以將抽象的函數(shù)直觀地用圖形呈現(xiàn)出來，這種數(shù)形結(jié)合的思想不僅可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且可幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)公式。

2 基于Matlab的二次曲面的繪制

2.1 靜態(tài)圖像的繪制

例1：繪制橢球面 + + = 1和雙葉雙面曲面 + = -1。

解：用Matlab繪制上述兩圖形的語句如下：

橢球面參數(shù)方程

u=linspace（0，pi，60）；v=linspace（0，2*pi，60） ；a=1 ；b=4 ；c=6 ；

[U，V]=meshgrid（u，v）；X=a*sin（U）.*cos（V）；Y=b*sin（U）.*sin（V）；

Z=c*cos（U）； mesh（X，Y，Z）； surf（X，Y，Z）；

雙葉雙曲面代碼

xa=-4：0.1：4；ya=xa；[x，y]=meshgrid（xa，ya）；a=1；b=1；c=1；

z1=sqrt（c.^2*（x.^2/（a.^2）+y.^2/（b.^2）+1））；

z2=-sqrt（c.^2*（x.^2/（a.^2）+y.^2/（b.^2）+1））；

mesh（x，y，z1） hold on；mesh（x，y，z2）；xa=-4：0.1：4；ya=xa；x=xa；

用Matlab繪制圖形分別見圖1和圖2；

上述畫圖過程從靜態(tài)的角度展現(xiàn)了圖像的形態(tài)，通過圖像的展示，可以使同學(xué)們對(duì)兩種不同類型二次面的外觀認(rèn)識(shí)更加直觀，但是靜態(tài)圖像沒有表現(xiàn)出曲面形態(tài)隨模型參數(shù)的改變而發(fā)生變化的過程，也不便從不同視角觀察圖像。③下面將從這個(gè)角度研究利用Matlab展示上述曲面的動(dòng)態(tài)變化過程。

2.2 動(dòng)態(tài)圖像的繪制

例2：通過改變例1中橢球面的參數(shù)觀察圖像的效果。

u=linspace（0，pi，60）；v=linspace（0，2*pi，60） ；a=4；b=6；

[U，V]=meshgrid（u，v）；X=a*sin（U）.*cos（V）；Y=b*sin（U）.*sin（V）；

for c=8：0.1：25 Z=c*cos（U）； end mesh（X，Y，Z）； surf（X，Y，Z）；

參數(shù)c的改變導(dǎo)致了圖像（見圖3）的大小發(fā)生了變化，但橢球面的實(shí)質(zhì)是沒有變化的，同理，改變參數(shù)a，b也是一樣的。通過改變參數(shù)繪制出來的圖像可以讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到橢球面形狀的改變是隨方程的參數(shù)而改變的，“數(shù)形結(jié)合”的思想也在圖像的“變化”中更好地體現(xiàn)出來。

例3：從不同視角觀察例1中雙葉雙曲面。

xa=-4：0.1：4；ya=xa；[x，y]=meshgrid（xa，ya）；a=2；b=4；c=1；

z1=sqrt（c.^2*（x.^2/（a.^2）+y.^2/（b.^2）+1））；

z2=-sqrt（c.^2*（x.^2/（a.^2）+y.^2/（b.^2）+1））；

mesh（x，y，z1）； hold on； mesh（x，y，z2）；xa=-4：0.1：4；ya=xa；x=xa

fprintf（‘抓取畫面中…＼n’）； n=100； for i = 1：n view（[30，10+i*360/n]）；

M（i）=getframe； end； fprintf（‘播放電影中…＼n’）； movie（M， 1）；

通過動(dòng)畫的播放我們可以從不同角度去觀察雙葉雙曲面的形態(tài)（見圖4），盡管位置變化并沒有改變雙葉雙曲面圖像的本質(zhì)，但可以讓學(xué)生從不同角度的認(rèn)識(shí)和了解雙葉雙曲面圖像的形態(tài)，而這種效果是在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中無法展現(xiàn)的。借用Matlab圖像展示和生成功能輔助教學(xué)則可以輕松地得以實(shí)現(xiàn)這種教學(xué)效果。

類似地，將程序中的問題改為其他二次曲面的方程，如錐面、球面、單頁雙曲面等也可同上述方法一樣得以實(shí)現(xiàn)。

動(dòng)態(tài)圖像的繪制彌補(bǔ)了靜態(tài)圖像在表達(dá)數(shù)形結(jié)合思想上的不足，而“動(dòng)靜”的結(jié)合不僅使抽象的問題形象化，而且能讓學(xué)生對(duì)問題和二次曲面圖像有一個(gè)清晰的了解和認(rèn)識(shí)，④在實(shí)現(xiàn)完整意義上的數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上也輔助了教師教學(xué)。

3 結(jié)論

本文將MATLAB圖形功能應(yīng)用于解析幾何二次曲面的教學(xué)中，從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)角度對(duì)解析幾何的部分二次圖形進(jìn)行了解析。實(shí)例說明，Matlab在解析幾何教學(xué)中可大顯身手，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)理論教學(xué)的不足，是解析幾何教學(xué)的一個(gè)有力輔助工具。借助于該工具輔助教學(xué)，不僅可豐富高校老師的課堂教學(xué)內(nèi)容，而且還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)。

注釋

① 趙亞男，牛言濤.Matlab在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2001.21（4）：55-58.

② 劉蕓.淺析Matlab繪圖功能在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].吉林省教育學(xué)報(bào)，2012.28（7）：57-58.

③ 林鎮(zhèn)飚，桂現(xiàn)才.用Matlab解決解析幾何的圖形問題[J].開發(fā)研究與設(shè)計(jì)技術(shù)，2006.32（2）：133-135.

④ 周德亮，白巖.用Matlab解決高等數(shù)學(xué)中的圖形問題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2002.23（1）：122-124.