反證法

摘 要 本文討論了反證法，引出了極小反例——群論中的一種常用證明方法，并用他們證明了一些結(jié)論。

關(guān)鍵詞 反證法 極小反例 真子群 冪零群

中圖分類號：O156.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Reduction to Absurdity-Minimal Counterexample

ZHANG Xianxiu， ZENG Lingyan， XIA Zhenpei

（Liupanshui Normal University， Liupanshui， Guizhou 553001）

Abstract Reduction to absurdity is discussed in this paper， raises the minimal counterexample in group theory， a commonly used identification method， and proved them some conclusions.

Key words proof by contradiction； minimal example； proper subgroup； nilpotent group

1 預(yù)備知識

在本文中，（）表示的階；[] = ；是的正規(guī)子群，記著：€I$。

先看一些定義：

定義1 （文獻(xiàn)【2】：55頁）若是有限群，是素數(shù)，設(shè)，但不整除。則中必存在階子群，叫做的子群。

定義2 群不是冪零群，但的每個真子群都是冪零群，則叫做內(nèi)冪零群。

再看一些引理：

引理1 （文獻(xiàn)【2】：31頁）設(shè)€I$，和/均可解，則可解。

引理2 （文獻(xiàn)【2】：137頁）設(shè)是有限群，是冪零群的一個充要條件是：的每個Sylow子群都是正規(guī)的，因而是它的諸 Sylow子群的直積。

引理3 （文獻(xiàn)【2】：142頁）設(shè)是內(nèi)冪零群，則 = ，≠均為素數(shù)，且適當(dāng)選擇符號便有的Sylow -子群€I$，而Sylow -子群循環(huán)，故不是的正規(guī)子群，并有（）≤（）。

2 主要結(jié)論

反證法是“間接證明法”一類，是從反方向證明的證明方法，即：先提出與結(jié)論相反（相排斥）的假設(shè)，然后推導(dǎo)出和已知證明的定理、公理、定義、題設(shè)相矛盾的結(jié)果，這樣就證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不能成立，從而肯定了原來的結(jié)論必定成立，這種間接證明的方法叫反證法。

法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結(jié)論的否定當(dāng)作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。

在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的反面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的反面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。

牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇碇v，反證法常用來證明正面證明有困難，情況多或復(fù)雜，而逆否命題則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分干脆。

反證法的證題可以簡要的概括為“否定→得出矛盾→否定”。即從否定結(jié)論開始，得出矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”。應(yīng)用反證法的是：

欲證“若則”為真命題，從相反結(jié)論出發(fā)，得出矛盾，從而原命題為真命題。

反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。排中律是在同一思維過程中，兩個矛盾的思想必有一個是真的。

反證法是數(shù)學(xué)證明中的一種極其重要的數(shù)學(xué)方法，特別是對于一些直接證明比較難的問題來說，使用反證法去證明，將會變得非常簡單。先看一個大家熟悉的證明：

證明是無理數(shù)。

證明：假設(shè)不是無理數(shù)，那么是一個有理數(shù)，令 = （，都是整數(shù)，，互素，且≠0）兩邊平方得：2 = ， = 2，顯然是偶數(shù)，令 = 2，代入 = 2得2 = ，顯然是偶數(shù)，這與，互素矛盾。所以是無理數(shù)。

這個證明主要用到 = 2。有理數(shù)的性質(zhì)實質(zhì)上是整數(shù)的性質(zhì)：能被2整除，則是偶數(shù)。因為奇數(shù)的平方還是奇數(shù)。運用整數(shù)的這個性質(zhì)我們還可以證明下面的結(jié)論。

定理1 證明：在勾股數(shù)中，兩條直角邊對應(yīng)的勾股數(shù)不可能都是奇數(shù)。

證明：設(shè)，，是一組勾股數(shù)，，對應(yīng)的是直角邊，假設(shè)結(jié)論不成立，即，都是奇數(shù)，由勾股定理 + = 得是偶數(shù)，則是偶數(shù)；另一方面，設(shè) = 2 + 1， = 2 + 1，則 + = + = 4（ + + + ） + 2，不能被4整除，設(shè) = ，則 = ，能被4整除，左右不可能相等，矛盾，故原命題成立。

下面的結(jié)論是顯然的：

定理2 勾股數(shù)不能都是奇數(shù)。

數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)是最小數(shù)原理，可用反證法證明。而最小數(shù)原理也是用反證法證明的。最小數(shù)原理（又稱自然數(shù)的良序性）自然數(shù)集的任一非空子集必含有一個最小數(shù)。

證明：假設(shè)≠，且中沒有最小數(shù)，為所有小于中任何一個數(shù)的自然數(shù)構(gòu)成的集合。

由0（否則，0是中的最小數(shù)），知0。

設(shè)是中的任一自然數(shù)，即<對一切成立。現(xiàn)證 + 1。

用反證法：若 + 1，在中必存在，使 + 1≥。又由中沒有最小數(shù)，知有，使>。這就有≤，但這與矛盾，于是 + 1。

根據(jù)歸納公理知 = 。

由非空知有自然數(shù)，但。這就出現(xiàn)了<的矛盾，從而原命題得證。（引自文獻(xiàn)【1】11頁-12頁）

反證法是把結(jié)論的反面呈現(xiàn)出來，我們?nèi)菀卓闯雒埽瑥亩Y(jié)論成立。在代數(shù)里，特別是在群論里經(jīng)常用到的一種證明方法：把反證法和數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合在一起，叫做極小反例法。即：用數(shù)學(xué)歸納法，取較小的數(shù)結(jié)論顯然成立，假設(shè)取較大的數(shù)結(jié)論不成立，所有取的這些數(shù)（使結(jié)論不成立）組成集合，是自然數(shù)集的一個子集，根據(jù)最小數(shù)原理，中有一個最小數(shù)， = 時，結(jié)論不成立，即極小反例，然后推出矛盾，說明極小反例不存在，結(jié)論成立。

下面用這種方法來證明兩個結(jié)論：

定理3 設(shè)有限群的每個真子群皆為交換群，則是可解群。

證明：設(shè)是結(jié)論不成立的極小反例（也就是說階數(shù)比還小的群若滿足定理1的條件則一定是可解群），不可解，當(dāng)然不是交換群。由例7.10，含有非平凡正規(guī)子群，則是交換群，當(dāng)然可解，再看商群/，顯然/的每個真子群交換，由于/<，/是可解群。由引理1可得是可解群。矛盾。說明極小反例不存在，這樣結(jié)論成立。

定理4 在有限群中，若對任意的，，只要（（），（）） = 1，就有[，] = 1，則是冪零群。

證明：設(shè)群是結(jié)論不成立的極小反例。顯然，對于的任何一個真子群，具備定理條件，又<，因而是冪零群。即的任何一個真子群都是冪零群，故是內(nèi)冪零群。由引理3得： = ， ≠均為素數(shù)，且適當(dāng)選擇符號便有的Sylow -子群€I$，而Sylow -子群循環(huán)，不是的正規(guī)子群，由定理的條件可得：里的元和里的元可交換，而循環(huán)，是交換群。由于€I$，故 = 。這樣里的任意元可寫成， ， ，對里的任意元， = = = ，所以。這樣 = ，是冪零群。矛盾。說明極小反例不存在，結(jié)論成立。

基金項目：（1）六盤水師范學(xué)院校級課題（LPSSY201012）；（2）六盤水師范學(xué)院校級課題 （LPSSY201003）；（3）六盤水師范學(xué)院數(shù)學(xué)教育教學(xué)團(tuán)隊（LPSSYjxtd201102）

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