二元函數極限探討

摘 要 二元函數的極限較一元函數復雜，本文專門針對二元函數的極限作了較詳細的探討，對可能涉及的幾種常見題型都進行了分析探討，并給出了相應有效的解決方法，以解答學生在學習的過程中碰到的各種問題給予幫助。

關鍵詞 二元函數 極限 不存在性 連續性

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A

與一元函數的極限概念類似，如果在（，）→（，）的過程中，對應的函數值 （，）無限接近于一個確定的常數，則稱為函數 （，）當（，）→（，）時的極限。但二元函數由（，）→（，）時的路徑方式的多樣化，導致二元函數相較一元函數要復雜，下面來探討下幾種常見二元函數極限問題。

1 證明某二元函數的極限常用方法

- 定義：設 （，）為定義在上的二元函數，為的一個聚點，是一個確定的實數。若對>0，總存在某正數，使得當時，都有

∣ （）∣=∣ （，）∣<

成立，則稱常數為函數 （，）當（，）→（，）時的極限，記為 （，） = 或 （，）→（（，）→（，）），也記作 （）或 （）→（→）。

例1 證明 = 0

證明：因為∣0∣= ∣∣≤≤ + ，故>0，取 = ，當0<<時，總有∣0∣<。

由極限的定義 = 0。

2 證明函數極限的不存在性

二元函數的極限存在，是指點以任何方式趨于點時，函數都無限接近于。如果當以兩種不同方式趨于點時，函數趨于不同的值，則函數的極限不存在。這是證明函數極限不存在的方法之一，我們可以通過找出兩條不同的路徑，使得點沿著這兩條路徑趨于點時， （，）的極限不相等；或者找一條路徑，使得 （，）的極限不存在。

例2 證明二元函數 （，）= ，當（，）點沿任意直線趨于點（0，0）時，極限都為0，但 （，）在點（0，0）處沒有極限。

證明：對任意常數，顯然

當沿軸方向時有

（，）= 0 = 0

故點（，）沿任何直線趨于點（0，0）時，都有極限0。但

故 （，）在點（0，0）處沒有極限。

這里需要說明的是由于多維區域的復雜性，只有當點（，）沿任意路徑（包括任意直線、各種曲線）趨于（，）時，函數都有同一極限，則稱函數在（，）處有極限。

例3 證明函數 （，） = 在（0，0）點的極限不存在

證明：特別地，取點（，）沿直線 = 趨于點（0，0），則有

=

而極限 是不存在的，故原函數在點（0，0）極限不存在。

此外，證明二元函數極限不存在性另一方法是利用累次極限 （，）與 （，）存在但不相等來說明極限 （，）必不存在。

例4 通過求二元函數 （，） = 的兩個累次極限來說明極限 （，） 的不存在性

解： （，）= = = 1

（，） = = = -1

顯然

（，）≠ （，）

所以極限的 （，）不存在。

3 求二元函數的極限

此類題型相對較多些，其解決方法也比較多樣化一些，歸納起來大體有以下幾種解答方法：

3.1 定義法

用得較少，適用于事先已經極限值的計算證明，類似于一類題型。

3.2 公式法

將二元函數轉化為一元函數，再利用一元函數已有的公式進行求解，或采用等價代換、無窮小量與有界量乘積等于無窮小量等來解決。比較常用的公式有：

= 1 =

例5 求極限

解：利用極限的四則運算及已知極限的公式得

= ·

= · = 1 €？ =

例6 求極限

解： =

=

= · = ·1 =

3.3 利用函數的連續性

此類型有兩種題型：（1）直接看出點即為函數的連續點，則該函數趨于點的極限即為該函數在點的函數值，此類題比較簡單，學生比較容易做。（2）有些分式形式或帶有根式的，代入點會導致分母為零，這種題型要對題目做些適當變換，例如帶根式的可分子分母同乘以根式的共軛根式，再利用（1）求得。

例7 求極限

解： = = 2

例8 求極限

解： =

= =

3.4 夾逼準則（一元函數中所使用的夾逼準則依然適用與二元函數）

例9 求極限 ，

解：要計算→+，→+時的極限，可以假設>0，>0，則

= + < + = +

由夾逼準則

0<< +

而（ + ） = 0

所以 = 0

3.5 極坐標代換

可以證明：對于極限 （，） =

用極坐標 = + ， = + 進行代換，可等價于：

對>0有€HR>0，€HO：0<<，：0≤≤2，有

∣ （ + ， + ）∣<

例10 求極限（ + ）（ + ）

解：利用極坐標變換，設 = ， = ，

有（ + ）（ + ）= （ + ）

€HO：0≤≤2，有∣（ + ）∣≤∣4 ∣

又已知4 = 0，于是

（ + ）（ + ） = 0

此法常見于（，）→（0，0）時使用，設 = ， = ，將其代入原函數變換成：當→時的一元函數求極限，但此類型又容易引起如下一類錯誤：

例11 極限

錯解：設 = ， = ，則

= = · = 0

上述解法中用到 · = 0，這里把看做與無關的有界量了，這是不正確的，因為可取任意值，如可取值，使 + 趨于零，這時就不是有界量了。

所以此題正確解答應該為：

當（，）沿過原點的任意直線 = （≠-1）趨于原點時，有

= = 0

當（，）沿曲線 = 趨于原點時，有

= = = -1

由此可知不存在。

相對于一元函數而言，二元函數由于區域的多維性，其極限問題也相對復雜些，抓住二元函數中（，）→（，）時，是以任何方式（包括直線路徑，也包括曲線路徑）趨近的，仔細分析探討，也會得到好的解答。

參考文獻

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