借助平面三角形掌握球面三角形

摘 要 通過對平面三角形跟球面三角形相關定義、性質、公式及應用的系統整理和對比，闡明兩者的異同以及之間的聯系，幫助學生更好地理解、掌握球面三角形，從而更好地應用于相關學習和工作中。

關鍵詞 球面三角形 平面三角形 對比

中圖分類號：O184 文獻標識碼：A

球面三角形是航海數學中重要內容之一，對于初學航海數學的學生來說是個全新的概念，學生理解起來難免覺得抽象，運用起來也較為困難。而平面三角形與球面三角形有很多相通、相似之處，了解二者之間的區別與聯系，對學生理解和掌握球面三角形，學好航海數學有很大幫助。

1 定義與性質

1.1 定義

平面三角形是在一個平面上，三條直線兩兩相交于三點， 由三條線段圍成的幾何圖形。平面三角形有三邊三角六個要素，一般以∠、∠、∠表示其三個內角，其大小由角度單位度量，以、、表示其相應的三條邊，其大小由長度單位度量，每邊的長由直線段來表達，也叫做平面上兩點間的距離。

球面三角形是在一個球面上，由三條大圓弧相交于三點圍成的球面部分。球面三角形也有三邊三角六個要素，一般以、、表示其三個內角，其大小由角度單位度量，以、、表示其相應的三條邊，球面三角形的三條邊都是球面上的大圓弧，其邊長可以用角度單位來度量，還可以由弧度換算為長度。在實際工作中常會遇到求球面上兩點間距離的問題，球面上兩點間小于180€暗拇笤不〉某な歉昧降慵淶淖疃糖蠣婢嗬搿T諍膠J導幸話闈蟪齙暮匠淌怯苫《缺澩锏模膠I習訓厙蟯衷滄游縵呱銜扯？'的弧長定為海上計算距離的單位，稱為1 n mile（海里），因地球不是正圓，故子午線上緯度1'的弧長不等，其在赤道上最短，而在兩極最長，在緯度44€？4'附近，1 n mile的長度等于1852m，我國計量單位規定1 n mile = 1852m，這樣即可順利求出由長度單位表達的航程了。

1.2 邊角性質

1.3 邊角關系

平面三角形滿足大邊對大角，大角對大邊，等邊對等角，等角對等邊的性質；平面三角形中僅知三個內角不能夠求出三條邊。

球面三角形也滿足大邊對大角，大角對大邊，等邊對等角，等角對等邊的性質；而球面三角形中僅知三個內角即可求出三條邊。

1.4 三角形分類

平面三角形一般分為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形和斜三角形。兩個平面三角形只要對應的邊角相等， 二者就全等。

球面三角形一般分為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形和直邊三角形、球面初等三角形和球面任意三角形，其中球面初等三角形包括球面小三角形和球面窄三角形。判定兩個球面三角形全等，除了二者對應的邊角均相等，相應邊角的排列次序還要完全相同。

2 解三角形

解平面任意三角形時，已知其六要素中至少含有一邊的三個要素就可求解出其他要素；解平面直角三角形時，已知其六要素中至少含有一邊的兩個要素就可求解出其他要素。求解平面三角形主要用到平面三角形的正弦定理、余弦定理、勾股定理、直角三角形三角函數關系式等，所用公式一般簡單易記。

解球面任意三角形時，已知其任意三個要素就可求解出其他要素；解球面直角三角形及球面直邊三角形時，已知其任意兩個要素就可求解出其他要素。求解球面三角形主要用到球面三角形邊的余弦公式、角的余弦公式、正弦公式、四聯公式等，跟平面三角形公式相比，這些公式更為復雜難記，運用起來也更加靈活。

3 簡單應用

3.1 求兩點間距離

例1.設平面三角形的三個頂點為、、，所對應的三條邊為、、，若已知角及邊、，求邊。

解：由平面三角形余弦定理 = + 2 ，所求邊很容易即可求得。

例2.設球面三角形的三個頂點為、、，所對應的三條邊為、、，若已知角及邊、，求邊。

解：如圖1，球面三角形，為球心。

圖1

過點作邊、的切線、，、為切線與、延長線的交點，則球面三角形角及、、邊可表示為： =∠、 =∠、 =∠、 =∠，在平面三角形中，由平面三角形的余弦定理有：

= ，同理在平面三角形中有： = + 2 ∠，在直角三角形、中有： = + 、 = + ，于是，

于是， = + ，所求邊通過反余弦即可求得，同理可得： = + ， = + ，以上公式稱為球面三角形邊的余弦公式，可以用于求航程，在航海實際工作中具有重要意義。

3.2 求三角形內角

例3.設平面三角形的三個頂點為、、，所對應的三條邊為、、，若已知角及邊、，求角。

解：由平面三角形余弦定理 = + 2即可求出邊，再由正弦定理 = 即可求出角。

例4.設球面三角形的三個頂點為、、，所對應的三條邊為、、，若已知角及邊、，求角。

解：由球面三角形邊的余弦公式 = + 求出邊，再由正弦公式 = 求出角，此方法與上例的解題步驟完全一致，都是兩步完成；實際上球面三角形有更簡捷的方法，一個公式就能夠解決問題，就是平面三角形不具有的四聯公式 = + ，此公式解決了球面三角形中相鄰兩邊兩角四要素之間的相互關系，在航海實際工作中，通常用此公式求初始航向。

3.3 求解球面小三角形

三邊與球半徑比均很小，三角之和接近180€埃掖笥？80€暗那蠣嬡切緯莆蠣嫘∪切巍H艏撲憔紉蟛皇嗆芨擼以諶菪淼奈蟛罘段冢捎悶矯嬡切謂鋪媧蠣嫘∪切衛辭蠼狻4穎叩姆矯嬋悸牽棖蠣嫘∪切穩醣叩某し直鷂ⅰⅲ虬刖段萸蠣嫘∪切味ㄒ逯ⅰ⒍莢緞∮冢殉ざ鵲ノ蛔苫《鵲ノ揮校記饔諏悖視薪乒健鄭？，同理，的三角函數也有相應公式，把這些值分別代入球面三角形正弦公式 = = ，得 = = ，經過計算得到平面三角形正弦定理 = = ，同理球面三角形邊的余弦公式和平面三角形余弦定理之間也具有相同的結論。從角的方面考慮，球面三角形三個內角之和超過180€暗鬧黨莆淝蠣娼怯帽硎荊？= + + 180€埃？

且 = （1 + ），

其中 = ，為球面三角形的面積，當球面三角形邊長僅數十海里時，球面角盈很小，即球面三角形三角之和跟平面三角形三角之和十分接近，幾乎相等。以上從兩方面說明了平面三角形與球面小三角形二者之間相互轉化關系。實踐證明在航海實際工作中，在視野范圍之內觀測陸標定位時，可以把球面小三角形轉化為平面三角形，這樣不但計算過程得以簡化，且計算結果也保證精確。

球面三角學是數學的一個分支，內容十分豐富，球面三角形在天文學、地理學等方面也有著極其廣泛的應用，深入理解并掌握球面三角形，能夠幫助學生更好地把理論知識應用在相關實踐工作中。

參考文獻

[1] 王人連.航海數學.大連海事大學出版社，2000.

[2] 馮孝禮.航海專業數學.大連：大連海運學院出版社，1990.