馬爾可夫鏈在股市投資中的應(yīng)用

摘 要 本文建立了馬氏鏈在股票投資中的隨機數(shù)學(xué)模型，通過實例檢驗，證明了此模型的可行性和實用性。

關(guān)鍵詞 預(yù)測 股票投資 轉(zhuǎn)移矩陣 馬爾可夫模型

中圖分類號：F830.91 文獻標(biāo)識碼：A

Application of Markov Chain in the Stock Market Investment

LUO Yufeng[1]， ZHANG Yuanju[2]

（[1] Continuing Education， Zhejiang Wanli University， Ningbo， Zhejiang 315100；

[2] Basic Department of Ningbo Technical College， Ningbo， Zhejiang 315000）

Abstract This paper established a random mathematics model of Markov chain in stock investment， through an example test， proved the feasibility and practicality of this model.

Key words forecast； stock investment； transfer matrix； Markov model

馬爾可夫鏈?zhǔn)侵笗r間連續(xù)（或離散）、狀態(tài)可列、時間齊次的馬爾可夫過程。它的理論廣泛應(yīng)用在教育領(lǐng)域、醫(yī)學(xué)領(lǐng)域、地震災(zāi)害領(lǐng)域、遺傳領(lǐng)域、供應(yīng)鏈領(lǐng)域、經(jīng)濟領(lǐng)域等等。馬氏性是指在已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”是無關(guān)的。本文主要利用馬氏鏈預(yù)測理論，通過轉(zhuǎn)移矩陣的建立和馬氏性的檢驗來構(gòu)建馬爾可夫模型，從而得出股票投資的馬爾可夫決策。

1 馬爾可夫模型的建立

在連續(xù)兩個時間段（天、周、旬、月）內(nèi)，根據(jù)以往股票價格，計算出前一個時段股價處于區(qū)間，后一個時段股價處于區(qū)間的比率 （， = 1，2，…，），即第一時段股價處于區(qū)間，第二時段股價處于區(qū)間的概率。有一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 = []。顯然，步轉(zhuǎn)移概率矩陣

= 。 （1）

記 = （，，…，）為第個時間段股價的概率分布向量，表示第個時段股價處于第（ =1，2，…， ）區(qū)間，由全概率公式有：

（2）

根據(jù)（1）式有：

若給定初始條件向量 = （，，…，），則個時段后的股票價格預(yù)測的馬爾可夫過程模型為：

（3）

2 股票投資的馬爾可夫決策

根據(jù)遍歷性，本文假設(shè)股價從狀態(tài)出發(fā)在有限時間間隔以后以概率1到達(dá)狀態(tài)，記為股價從狀態(tài)出發(fā)后首次到達(dá)狀態(tài)的平均時間，則

= 1 + （，，） （4）

根據(jù)式（4）可列線性方程組：

（5）

現(xiàn)在假設(shè)投資者在狀態(tài)時買入，在狀態(tài)時賣出的收益率為：

= 。

收盤價格均值等于一定時間內(nèi)（如一個星期）處于該狀態(tài)的收盤價總和除以處于該狀態(tài)的天數(shù)。顯然有，收益率矩陣 = （）。本文假設(shè)投資者如果在狀態(tài)時刻買入了股票，則他持股多長時間以后賣出能獲得最大的平均收益為

（）= ·（） （6）

為狀態(tài)買入股票天后賣出的平均期望收益，則問題等價于求，使

（）= ·（） （7）

為了探尋股票的最佳穩(wěn)定投資策略，它位于第個時刻所決定的方式依賴于該時刻的狀態(tài)，且是確定的，（）指的是折扣系數(shù)（0<（）<1），（）只和有關(guān)。對任意穩(wěn)定投資策略與折扣因素（·），（，）表示的是初始狀態(tài)為 = ，策略為，系統(tǒng)從 = 0開始到 = 所得到的期望總折扣報酬，則：

（，）= （）（） + （，） （8）

（，）= （）（） + （，）， ≥0

（9）

其中（，0） = 0， = = ，

我們的目的是找一個最佳穩(wěn)定策略 = ，使（，）取最大值，即

（，） = （，） （10）

然后通過計算最佳期望報酬

= （，） （11）

確定最佳策略。

3 模型分析

根據(jù)寧波地區(qū)股市價格，本文把股票的價格分為，，…，個區(qū)間。（ = 1，2，…）為時刻股票價格所位于的區(qū)間，利用統(tǒng)計量來檢驗，檢驗其是否具有馬氏性，令 = 且 = 。

顯然， 當(dāng)較大時， = 2| |服從自由度為（）2的分布。可知，（（）2）。若>（（）2）則認(rèn)為符合馬氏性檢驗，否則認(rèn)為該過程不具有馬氏性。本文假設(shè)股市的運行不受任何外在因素的操縱，只受客觀因素影響。

選取寧波銀行3月1日到3月23日23天的收盤價作為分析所用的原數(shù)據(jù)，如表1所示：

表1 寧波銀行2011年3月1日到4月1日23個交易日收盤價格的資料

以表1為例，應(yīng)用馬爾可夫鏈對股價進行預(yù)測分析，在這里單位以天來計算。表中的數(shù)據(jù)劃分成4個價格區(qū)間，得到的區(qū)間狀態(tài)為：（12.85以下），（12.85～13.15），（13.15～13.45），（13.45以上）。那么落在各位區(qū)間里的頻數(shù)分別是3、7、7、6。顯然，得到各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率和轉(zhuǎn)移概率矩陣如表2：

表2 各狀態(tài)之間一步轉(zhuǎn)移后的頻數(shù)

轉(zhuǎn)移矩陣為

由表1，我們得到第23日的收盤價格是13.30（位于K狀態(tài)），因此，若初始狀態(tài)向量為 = （0，0，1，0），則根據(jù)馬氏性預(yù)測得到第24、25日的收盤價格狀態(tài)向量分別為 （1） = （0） = （0，0.333，0.333，0.333）， （2） = （1） = （0.095，0.206，0.365，0.333）。實際證明，這兩日的收盤價格位于狀態(tài)的可能性最大，與實際相符。

當(dāng)n很大時，若狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率不變，則狀態(tài)向量趨于一個穩(wěn)定值，且其與初始狀態(tài)無關(guān)，有：

解得的數(shù)值有穩(wěn)定狀態(tài)下計算出的結(jié)果與遞推公式的推導(dǎo)是一致的。

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