例析因式分解的常用方法

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；因式分解；方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2013）13—0087—01

因式分解是在學(xué)習(xí)有理數(shù)和整式四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，它為以后學(xué)習(xí)分式運(yùn)算、解方程和方程組以及代數(shù)式和三角函數(shù)的恒等變形提供了必要的基礎(chǔ)，所以因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個重要內(nèi)容. 由于進(jìn)行因式分解時要靈活運(yùn)用學(xué)過的有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，并且因式分解的途徑多，技巧性強(qiáng)，所以因式分解是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點.下面，筆者就談一談因式分解的常用方法和技巧.

一、 提公因式法

提公因式法是因式分解最基本的也是最常用的方法，它的理論依據(jù)就是乘法的分配律.要想提公因式，首先要對欲分解的多項式進(jìn)行考察，提出字母系數(shù)的公因數(shù)以及公有字母或公共因式中的最高公因式.運(yùn)用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式和特點.對于初學(xué)者來說，如何根據(jù)要分解的多項式的形式和特點，來選擇應(yīng)該運(yùn)用什么公式，往往很不容易.這也是提公因式法的難點.因此，教學(xué)時，教師注意分析實例，指明思路，交代方法，以幫助學(xué)生克服難點.

例1 x2-4y2=（x-2y）（x+2y）

例2 2a（b+c）+c（b+c）2=（b+c）（2a+c2+bc）

注：確定公因式時，要先看系數(shù)，再看字母，最后看指數(shù).提公因式要提盡，小心漏掉，多項式的首項取正號.

二、 分組分解法

一類是分組后能直接提公因式的，一類是分組后能運(yùn)用公式的.由于多項式的形式各異，分組的方法也有所不同，要具體問題具體分析，并且要預(yù)見到分組后分解整個多項式的可能性.因此，相對來說，分組分解法較提公因式法要難一些.教學(xué)時，教師要根據(jù)教材的層次，先易后難，最后再講略帶綜合性的因式分解的題目.

例 3 2ax-10ay+5by-bx

=（2ax-10ay）+（5by-bx）

=2a（x-5y）+b（5y-x）

=2a（x-5y）-b（x-5y）

=（x-5y）（2a-b）

例4 a2-2ab+b2-c2

=（a2-2ab+b2）-c2

=（a-b）2-c2

=（a-b+c）（a-b-c）

注：很顯然，例3分組后馬上就能提公因式，例4分組后還需要運(yùn)用公式.

三、 十字相乘法

十字相乘法簡單來講就是：十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項系數(shù)，其實就是運(yùn)用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab的逆運(yùn)算來進(jìn)行因式分解.對于形如ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）的整式來說，關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積a1·a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項的系數(shù)b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.在運(yùn)用這種方法分解因式時，要注意觀察、嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程.當(dāng)首項系數(shù)不是1時，往往需要多次試驗，務(wù)必要注意各項系數(shù)的符號.

例5 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）

注：一般地，對于二次三項式ax2+bx+c（a≠0），如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)之積，即a=a1a2，常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即c=c1c2，把a(bǔ)1， a2，c1，c，排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2 +a2c1，若它正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系數(shù)b，即b=a1c2 +a2c1，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.

總之，因式分解是整式乘法的理想變形，學(xué)習(xí)它，可以深化我們對整式運(yùn)算的理解，同時，它還是分式化解和解方程的重要基礎(chǔ).因此，學(xué)生必須學(xué)好這部分內(nèi)容.

？笙 編輯：謝穎麗