利用解題后的再思考，培養學生的思維品質

摘 要：美國數學家G·波利亞把數學解題過程分成四個步驟：理解題目；擬訂方案；執行方案；回顧.這里的回顧就是解題結束后的反思。反思即再認識，是人們的一種自我反省行為，對學生來說表現為一種積極的探索活動和富有個性化的創新精神.

關鍵詞：解題；思維；品質

在數學學習中，絕大多數學生只注重解題的數量而不注重解題的質量；只注重解題的結果而不注重解題的過程；只注重解題而不注重對解題過程的反思.要想提高學生的數學學習能力，優化思維品質，從而達到提高數學學習效率的目的就必須幫助學生養成解題后反思的習慣.

一、反思解題中的錯誤解答，培養思維的嚴密性

我們經常會發現學生解題時以完成為目的，做完作業不去檢查，或者面對錯誤的解題過程看不出錯誤之處.究其原因，就是因為學生的思維批判性差，反思意識不強，反思能力低.因此在教學中要有意識地針對學生知識思維的缺陷進行糾正總結，增強學生的反思意識和反思能力.

反思錯解原因：求解過程只考慮了當原分式方程有增根的情況，而忽略了當整式方程無解時，原分式方程也無解，應分情況

討論.

通過這樣的糾錯反思，可以使學生深刻地把握基本概念和基礎知識，有利于培養思維的嚴謹性，提高認知能力，培養思維的嚴密性和批判性.

二、反思解題方法，培養思維的發散性

很多學生在解題時往往帶著完成任務的想法，因而對于自己解題方法的優劣從來不加以反思，經常會出現解題過程單一、思路狹窄、過程繁瑣、邏輯混亂等現象.因此，必須引導學生反思自己的解題方法，努力尋找解決問題的最佳方法.

例：已知二次函數的圖像的頂點是（1，-3），且經過P（2，0），求這個二次函數的解析式.

【法一】頂點式：設y=a（x-2）2-3（a≠0）

圖像經過P（1，0），可得關于a的方程0=a（2-1）2-3，題目得解.

【法二】一般式：設y=a（x-2）2-3（a≠0）

由題目條件中兩點代入可得關于a，b，c的兩個方程，又因為

已知的其中一個點是頂點，考慮到頂點的特殊性，可根據對稱軸得到關于a，b，c的第三個方程，題目得解.

【法三】由于已知條件是拋物線與x軸的一個交點是（2，0），由頂點可知對稱軸是直線x=1，可進一步得到拋物線與x軸的一個

交點是（0，0），不妨利用兩根式，設：y=a（x-x1）（x-2x2）（a≠0），x1、x2 是拋物線與x軸兩個交點的橫坐標.

通過對同一問題不同解法的反思，可以開拓思維，防止思維定式，開闊學生視野，鍛煉思維的發散性和廣闊性.

三、反思題目的變形、引申，培養思維的靈活性

傳統的教學模式是接受式的學習方式，學生往往會出現這樣的情況：遇到題目覺得似曾相識，但又不知如何下手.通過反思題目的變形和引申，可以培養學生思維的創造性.

例：已知點E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，

請判斷四邊形EFGH的形狀.

做完這個題目后，應引導學生思考題目的變形.

變形一：滿足什么條件時，四邊形EFGH可變成一個矩形？一個菱形？一個正方形？

回顧解題過程就可以知道，根據三角形中位線定理，中點四邊形的形狀和原四邊形形狀無關，只與它的對角線相關.通過這樣帶有引申意義的反思，學生對知識之間的聯系理解得更為透徹.進一步抓住對角線AC和BD的關系還可以作以下的變形.

變形二：若點E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，且對角線AC垂直于BD，試判斷四邊形EFGH的形狀.

變形三：若點E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，且對角線AC等于BD，試判斷四邊形EFGH的形狀.

變形四：若點E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點，且對角線AC垂直且等于BD，試判斷四邊形EFGH的形狀.

通過對題目變形、引申，引導學生從中尋找問題間的內在聯系，可以達到舉一反三，觸類旁通的目的，從而提高學生解題能力，發展概括能力，從而培養學生思維的創造性和靈活性.

四、反思解題的思維過程，培養思維的深刻性

思維的深刻性是指能深入地鉆研和思考問題，善于從復雜的表象中把握問題的本質，它體現了思維活動的廣度、深度和難度.思維的深刻性是以反思為前提的，因為只有經過充分的思考，才能領會問題的實質.

例：一項工程由甲單獨完成可如期完成，由乙單獨完成需延期三天才能完成.現先由甲、乙合作兩天，再由乙單獨完成剩下的工程，剛好如期完成，試問甲、乙單獨完成該項工程各需多少天？

如果直接根據題目中的相等關系列方程，可得：

設甲單獨完成該項工程需x天，則乙單獨完成需（x+3）天，根據題意得：

對于這個問題，我們不能就此罷休，還應充分挖掘題目中的隱蔽條件：“乙三天的工作量等于甲兩天的工作量”，這樣就可得到如下的簡便方程：

解題中，要善于引導學生不滿足僅求出結果，而是要深刻反思解題的實質，針對這一問題，多問為什么，多思考有沒有更好的解決辦法，這樣有利于掌握問題的一般規律，有利于更好地培養學生思維的深刻性.

G·波利亞認為“如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面”，“通過回顧所完成的解答，通過重新斟酌、審查結果及導致結果的途徑，他們能夠鞏固知識，并培養他們的解題能力”.因此，解題后的反思十分重要，它可以幫助學生鞏固基礎知識、基本概念，又可以促進知識的有效遷移，培養學生良好的思維

品質.

參考文獻：

[1]酈章華，虞金龍.淺談解題后反思的重要性[J].數學教學通訊，2002（05）.

[2]高春龍.重視題目評點，培養思維品質[J].中學數學教學參考，1998（8）.

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[4]G·波利亞.怎樣解題[M].涂弘，馮承天，譯.上海科技教育出版社，2002-06.

（作者單位 江蘇省南京市六合區勵志學校）

編輯 薛直艷