例談探索性問題

摘 要：探索性問題是相對于有明確條件和明確結(jié)論的封閉型問題而言的，該類問題的知識覆蓋面大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度.旨在從例題中歸納出探索性問題的各種題型，總結(jié)出解決探索性問題的一些方法，目的在于在這方面做個初步的嘗試，以引起大家對探索性問題的關(guān)注和探討.

關(guān)鍵詞：探索性問題；分析歸納；類比聯(lián)想

探索性問題又稱開放性問題，它是相對于傳統(tǒng)的給出明確的條件與結(jié)論的封閉問題而言的。探索性問題沒有明顯的結(jié)論，要求學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、歸納、分析、類比比較等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例，從而得到結(jié)論.這類問題形式新穎，題目設(shè)計(jì)立意于對發(fā)散思維能力的培養(yǎng)與考查，能夠有效地檢測與區(qū)分學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與創(chuàng)新思維能力.就這一點(diǎn)來說，它符合新課標(biāo)理念：倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，所以我們有理由相信在今后的高考數(shù)學(xué)試卷中對這一問題依然會有所體現(xiàn).

探索性問題可以探索條件、結(jié)論和方法，基本題型可分為存在型、歸納猜想型、更換條件型、一題多解型.

一、探索條件

當(dāng)一個問題給出了結(jié)論，需要探索條件時，常用分析法.

例1.命題A：底面為正三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐，命題A等價命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐.

簡析：要使三棱錐為正三棱錐，須滿足命題A所要求的條件，即頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，所以可以填上以下條件：

①各側(cè)棱長相等；

②各側(cè)棱與底面所成的角相等；

③底面與各側(cè)面所成的二面角相等.

二、探索結(jié)論

1.直接探索結(jié)論

這類問題問題的結(jié)論一般都不唯一，解決這類問題需要從多方面考慮，從不同角度分析問題所給的已知條件，尋求正確結(jié)論.

例2.α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外兩條不同直線，給出四個論斷：

①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題 .

簡析：共可寫出4個命題：

（1）①②③？圯④

（2）①②④？圯③

（3）①③④？圯②

（4）②③④？圯①

不難證明，其中（3）和（4）是正確的.

2.存在性結(jié)論探索

解決這類問題的思路是：先假定“存在”，若經(jīng)推證無矛盾，則“存在”成立，若推證出矛盾，則結(jié)論為“不存在”.分析法或反證法是解決這類問題采用的方法.

分析：解本題通常可先求出直線m的方程，然后與雙曲線聯(lián)立，化為一元二次方程，利用判別式作出最后的結(jié)論判斷.

解：假設(shè)直線m存在

若直線m的斜率不存在時，有x=1，此時直線m與雙曲線相切，與題設(shè)交于兩點(diǎn)不合.

設(shè)直線m的方程為：y-1=k（x-1），Q1，Q2兩點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），由Q1，Q2在雙曲線上及B（1，1）為Q1Q2的中點(diǎn)可得：

因此直線m的方程為y=2x-1

顯然Δ<0，此方程無實(shí)數(shù)根，這與直線m與雙曲線交于Q1，Q2兩點(diǎn)矛盾，故這樣的直線m不存在.

3.猜想歸納探索結(jié)論

解決這類問題的思路是：先研究最簡單、最特殊的情況，得出結(jié)論，再加以證明.與自然數(shù)有關(guān)的問題，可以考慮數(shù)學(xué)歸納法.

解：先取特殊值進(jìn)行探測：

取P（a，0），則M（a，0），N（a，0），從而OM·ON=a2

于是猜想OM·ON=a2定值，證明如下：

設(shè)P（acosθ，bsinθ），其中sinθ≠1，且設(shè)M（x1，0），N（x2，0）

4.更換條件探索結(jié)論

解決這類問題的思路是：注意用類比的方法分析問題，研究當(dāng)條件變化時，問題的本質(zhì)有哪些相同，有哪些變化，從中尋求解題方向.

例5.在平面幾何中有命題：正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和是一個定值，那么在正四面體中類似的命題是什么，是否正確？證明你的結(jié)論.

分析：類似的命題：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個面距離之和是一個定值.平面幾何中用面積法證明其正確性，即將此點(diǎn)與三角形三個頂點(diǎn)連接，所得三個小三角形面積之和等于正三角形的面積，由此類比可得到啟發(fā)，運(yùn)用體積法證明立體幾何中這個類似的命題（證略）.

三、探索方法

主要蘊(yùn)含于“一題多解”問題中，一般思路：從不同角度、不同的思想方法去推敲方向，從而得出不同的解法.

證明一（比較法）

探索性問題是從高層次上考查學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力的一種題型，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是解決這類問題的橋梁和向?qū)?在這類問題的教學(xué)中，教師不但要善于提出具有挑戰(zhàn)性的問題，增加思考的密度，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，而且也要鼓勵學(xué)生勤于提出深層次的問題，以拓寬學(xué)生的開放性思維，充分發(fā)揮學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性.

參考文獻(xiàn)：

[1]趙春祥.立體幾何填空題中的開放型問題評析.中學(xué)生理科月刊，2003（09）.

[2]張清芳，袁明豪.例談探索性問題的解題策略.數(shù)學(xué)通訊，2003（10）.

[3]陳明.探究性問題的求解策略.數(shù)學(xué)通訊，2001（17）.

（作者單位 江蘇省南京市高淳區(qū)淳輝高級中學(xué)）

編輯 薄躍華