關注概念生成 揭示數學本質

摘 要：數學概念是數學的細胞.主要介紹了在動態生成觀下如何通過把握概念系統、創設情境、引導探究、類比概念、變式訓練等方式，揭示數學概念本質，幫助學生理解數學.

關鍵詞：數學概念；數學本質；動態生成

數學是科學的思維，而數學概念是數學思維的細胞.數學概念是反映數學研究對象的本質屬性的思維形式，是數學基礎知識的核心，是數學思想方法的載體，是導出數學定理和數學法則的基礎.正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的基礎，也是進行數學推理、判斷、證明的依據.《普通高中數學課程標準》指出：“教學中應強調對基本概念和基本思想的掌握……由于數學高度抽象體現的特點，注重體現基本概念的來龍去脈.在教學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在初步應用中逐步理解概念的本質.”因此，要使學生真正理解數學概念、把握數學本質，教師就必須在概念生成環節中不惜時、不惜力.下面，筆者就從自身的教學實踐出發，談談基于動態生成觀的數學概念教學.

一、把握數學概念在知識體系中的位置

數學概念的教學不能只看到“樹木”不見“森林”，要搞清楚概念在整個知識體系中的位置，這是概念生成的基礎.在備課前要搞清楚以下幾個問題：概念的來源是什么？概念的內涵與外延是什么？與之相關概念的相互關系是什么？

案例一：函數概念

函數是中學數學的主體內容，與中學數學很多內容都密切相

關，初中代數中的“函數及其圖象”就屬于函數的內容，從高一的初等函數學習中掌握定義域、值域、奇偶性、單調性到高二通過數列的學習，理解數列是一種特殊的函數，再到高三導數、積分等知識的運用，學生對函數的認識有了新的飛躍.通過研究高中數學中的指數函數、對數函數、三角函數，學生能從觀察函數的圖象認識函數的性質及其初步的應用.數列可以看作定義域為正整數的函數.函數作為高等數學的基礎，所體現出來的變量思想對于數學的發展具有里程碑的意義.高中函數貫穿了整個高中數學課程始終.

掌握了函數概念的來龍去脈后，就能更好地把握函數在不同教學階段的不同含義和教學要求：先從實際模型中抽象出函數概念，然后再用數學方法研究函數性質，最后運用函數模型解決實際問題，這樣就體現了數學知識的發生發展過程，突出了知識的來龍去脈，有助于學生理解數學本質.

二、重視背景，情境引入

問題情境是先導，好的問題情境可以激發學生積極思考、主動探究.在教學中，應根據課程內容和高中生的心理特征創造學生感興趣的問題情境，激發學生學習的積極性，這是數學概念有效生成的前提.而數學概念往往都來源于數學自身發展或實際問題的解決的需要.

案例二：復數的概念

在實數范圍內，方程x2+1=0無解，為了使它有解，引入新數i，滿足i2=1，由此引入了復數的概念.

三、引導探究，促進生成

教師是教學活動的先行組織者，為了促進學生的自主學習，教師必須發揮好主導作用.創設了問題情境后，教師應該鼓勵學生積極探究，大膽發表自己的見解.只有教師的講解，沒有學生的探究和參與，課堂是靜態課堂.鼓勵學生積極參與探究活動并不意味著放任自流，沒有定向的引導，那么課堂可能會變成一盤散沙.問題是數學的心臟.有效的數學教學，應該是在學生的“最近發展區”附近設計一系列的問題即“問題串”，以促進學生的能力提高到更高的一個階梯.

案例三：函數單調性第一課時

為了幫助學生更深刻地理解概念本質，筆者設計了以下一組問題串：

問題1：給出艾濱浩斯遺忘曲線.請同學通過觀察艾濱浩斯遺忘曲線，描述記憶數量與時間的關系.

問題2：在區間[0，+∞）上，函數f（x）=x2的圖象從左到右呈現怎樣的變化趨勢？自變量x與函數值f（x）有什么的關系？

問題3：如何用代數方法來描述“在區間[0，+∞）上隨著自變量x的增大，函數值f（x）也跟著增大”這個結論？

問題4：對于具體的兩個數值a和b，若有f（a）

問題5：若在區間[a，b]上存在無數個值x1

在經歷了上述的探究活動后，學生獲得了函數為增函數的“多元聯系表示”：

函數f（x）在區間D內為增函數

?在區間D內f（x）的圖象從左到右是上升的；

?在區間D內f（x）隨自變量x的增大而增大；

?在區間D內，當x1

這時候再給出增函數的概念，自然就水到渠成.

問題6：你能否試著給出減函數的概念？

通過一系列的設問，使學生處于積極的思維狀態，從抽象到具體，并通過反例來反襯，加深了學生對概念的理解.

四、類比概念，抓住本質

新知識不能憑空產生，它必須建立在學生已有知識的基礎上，通過類比新舊知識來學習新知識.在數學概念教學中，運用類比的思想來學習新概念，對概念進行辨析，揭示新、舊概念的本質特征，更加注重概念形成的原始思維過程，對學生理解概念大有裨益.

案例四：“等比數列”教學片段

可以通過類比等差數列概念來學習等比數列概念.具體設計如下：

1.回憶等差數列的概念及等差數列通項公式的推導方法.

2.閱讀課本上本節內容的4個背景，領會4個實例傳達的意思，寫出4個實例所得的數列.

3.觀察所得四個數列有什么共同特征？能否試著舉出兩個有同樣特征的數列？

4.類比等差數列的定義，怎樣用恰當的語言給出等比數列的定義？

5.等差數列與等比數列有何異同點？

通過這樣的類比，既促進了學生對兩個概念的認識，又為接下來研究通項公式和前n項和公式做好鋪墊.

在這個過程中，學生相互討論、相互修正、相互補充，最后得出結論.學生親歷了概念的形成過程，既突出了教學重點，又體現了“在參與中體驗，在活動中發展”的全新理念.

五、變式訓練，突出本質

在引導學生理解概念時，還可以通過舉反例或編制一些學生

容易做錯的題目來加深學生對概念的理解.

案例五：“雙曲線及其標準方程”教學片段

在雙曲線的定義中，學生對于“雙曲線是平面內到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數的點的軌跡”記憶比較深刻，但是往往忽略了“絕對值”和“這個常數必須小于兩個定點間的距離”.為了加深學生對定義的理解，可以編制以下題組進行變式訓練.

（1）若平面內一點P到點A（-3，0）和B（3，0）的距離之差等于4，點P的軌跡是什么？

（2）若平面內一點P到點A（-3，0）和B（3，0）的距離之差的絕對值等于6，點P的軌跡是什么？

（3）已知平面內一點P到點A（-3，0）和B（3，0）的距離之差的絕對值等于8，點P的軌跡是什么？

（4）若平面內一點P到點A（-3，0）和B（3，0）的距離之差的絕對值等于4，點P的軌跡是什么？

通過以上分析容易得到：（1）當距離之差等于常數時，軌跡是雙曲線的一支；（2）當2a=2c時，軌跡是兩條射線；（3）當2a>2c時，軌跡不存在；（4）當2a<2c時，軌跡是雙曲線.這樣就有效地加深了學生對雙曲線概念中的“絕對值”以及“a

在教學中，教師要從實際出發，幫助學生了解概念的發生和發展過程，鼓勵學生積極參與到數學概念的生成過程中，把握數學概念的本質特征，體會蘊含在概念中的數學思想方法，掌握數學概念在解決問題中的實際應用，從而有效地促進學生思維的發展，構建高效的數學課堂.

參考文獻：

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（作者單位 福建師范大學數學與計算機科學學院 泉州城東中學）

編輯 謝尾合