微分學在初等數(shù)學解題中的應用

摘要：把微分學的知識應用于解決初等數(shù)學問題上，能起到以簡馭繁的作用。在方程根的討論、求曲線的切線、單調(diào)區(qū)間、極值、最值等方面，應用微分學不僅可使解法簡便，而且能使問題的研究更為深入、全面。

關(guān)鍵詞：微分學；解題應用；初等數(shù)學

中圖分類號：G427文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）18-089-1

初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，二者有著本質(zhì)的聯(lián)系。將高等數(shù)學中的微分理論應用于初等數(shù)學，使其內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系得以體現(xiàn)，進而去指導初等數(shù)學的教學工作，是一個值得研究的課題。因此，作為中學教師，除掌握初等數(shù)學各種類型題的已熟知的初等方法外，還應善于用高等數(shù)學方法解決初等數(shù)學問題，特別是一些用初等數(shù)學方法難以解決或雖能解決但顯得難、繁，而用高等數(shù)學方法則易于解決的初等數(shù)學問題，從而拓廣解題思路和技巧，提高教師專業(yè)水平，促進初等數(shù)學教學。

一、方程根的討論

中學數(shù)學解方程根的問題一般應用不等式的有關(guān)知識，對一元二次方程的實根分布進行討論；借助二次函數(shù)的圖象進行實根分布的討論，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想；將實根分布等價轉(zhuǎn)化為不等式（組）的求解問題，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。但是如果用連續(xù)函數(shù)介值性定理解決此例問題，則可以收到事半功倍的效果。

所以由連續(xù)函數(shù)介值定理知有方程h（x）=0在區(qū)間（3，103），（103，4）內(nèi)分別有惟一實數(shù)根，而在區(qū)間（0，3），（4，+∞）內(nèi)沒有實數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)m=3，使得方程f（x）+37x=0在區(qū)間（m，m+1）內(nèi)有且只有兩個不同的實根.

二、求函數(shù)的切線、單調(diào)區(qū)間、極值、最值等問題

由導數(shù)的幾何意義，可以很容易地求得曲線的切線，也可方便地求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值.

本題融導數(shù)、切線、極值于一體，考查導數(shù)、切線、極值等知識及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力，綜合性較強，但解題思路較明顯。

從以上例題可看出，用微分學在解決初等數(shù)學時有較大優(yōu)勢。需要強調(diào)的是，在初等數(shù)學中，設(shè)“元”的方法是一種基本方法，而在利用微分學解決初等數(shù)學問題時，構(gòu)造“輔助函數(shù)”的方法也是一種最常見的方法。微分學與中學數(shù)學的有機結(jié)合在數(shù)學教學中有著重大意義，本文只是進行了粗略的探討，許多便利還要我們在以后工作中不斷進行總結(jié)才能得到。

微分學在解決初等數(shù)學問題中的應用遠不止這些，在其他如因式分解、化簡代數(shù)式、求值與求和等方面也有廣泛的運用。隨著微分學等高等數(shù)學知識再次回歸中學數(shù)學教材，中學數(shù)學教師除應熟練掌握各種題型的初等解法外，還應善于運用高等數(shù)學知識解決初等數(shù)學問題。