類比推理的幾種類型

摘要：類比是數(shù)學(xué)中常用的一種推理方法。教師在鼓勵學(xué)生大膽運用此法提出猜想的同時，也要注意讓學(xué)生對類比結(jié)果保持謹(jǐn)慎的態(tài)度。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；類比推理；例題

中圖分類號：G420文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）18-085-1

類比在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、有限與無限之間有不少結(jié)論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的。但是類比推理在所有的推理中又是最不嚴(yán)格，最不準(zhǔn)確的，它是一種或然推理，其結(jié)論正確與否有待實踐證明。本文將對高中數(shù)學(xué)中幾種常見的類比推理作一匯總。

1.從二維平面類比到三維空間

例1命題p：若S△SAB的兩邊SA、SB互相垂直，點S在AB邊上的射影為H，則SB2=BH·AB。

命題q：若四面體VABC的三個側(cè)面兩兩垂直，點V在底面ABC上的射影H，

詳注：從一個特殊式子的性質(zhì)，一個特殊圖形的性質(zhì)入手，產(chǎn)生類比比理型問題。求解時要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵。

2.從橢圓類比到雙曲線

例3命題p：橢圓x2a2+y2b2=1的斜率為1的弦的中點在直線x2a2+y2b2=0上。

命題q：雙曲線x2a2-y2b2=1的斜率為1的弦的中點在直線x2a2-y2b2=0上。

證明：

詳注：有一些處理問題的方法，具有類比性，結(jié)合這些方法產(chǎn)生的問題，在求解時，要注意知識的遷移。

3.從等差數(shù)列類比到等比數(shù)列

詳注：類比某些熟悉的概念，產(chǎn)生的類比推理型試題，在求解時可以借助原概念所涉及的基本方法與基本思路。

4.從實數(shù)類比到復(fù)數(shù)

例6對于非零實數(shù)a、b，以下四個命題都成立：

那么，對于非零復(fù)數(shù)，a、b仍然成立的命題的所有序號是②、④

解：此類題目可舉反例驗證。①中a=i時，不成立，③中a、b互為共軛復(fù)數(shù)時，不成立。

例7給出下列類比推理命題：（其中R是實數(shù)集，C是復(fù)數(shù)集）

①a、b∈R，則a-b=0a=b

類比推出若a、b∈C則a-b=0a=b

②a、b∈R，則ab=0a=0或b=0

類比推出若a、b∈C則ab=0a=0或b=0

③a、b∈R，則a-b>0a>b

類比推出若a、b∈C則a-b>0a>b

④a、b∈R，則a2+b2≥0

類比推出若a、b∈C則a2+b2≥0

所有命題中類比結(jié)論正確的序號是①②

評注：借助類比推理進(jìn)行命題是命題改革產(chǎn)生的一類新型試題，應(yīng)要注意對課本知識的聯(lián)想及遷移。

從以上幾類題型可以發(fā)現(xiàn)，類比作為一種推理方法，能成就偉大的發(fā)現(xiàn)，但也會導(dǎo)致美麗的錯誤。一方面，我們應(yīng)鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中要相信自己的想象力，大膽地創(chuàng)造性地運用類比的方法提出猜想，而不必過多地考慮結(jié)論的對與錯，更不必回避錯誤的類比；但另一方面應(yīng)讓學(xué)生明確類比并不是具有證明效果的推理方法，對類比的結(jié)果應(yīng)保持謹(jǐn)慎的探索的科學(xué)態(tài)度，通過圖形印證，特例反駁等各種手段進(jìn)行檢驗，直至用邏輯的方法進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。