構(gòu)造圖形在初中代數(shù)中的運用

所謂構(gòu)造“幾何圖形”是指在解決某個問題時，根據(jù)所解問題的內(nèi)部聯(lián)系、數(shù)量特征，找出相應(yīng)的幾何圖形。“構(gòu)造”得好，解題就變得非常簡潔，直觀明了。如果問題條件中有明顯的或隱含的幾何意義與背景，或能以某種方式與幾何圖形建立起聯(lián)系，則可考慮構(gòu)造幾何圖形，將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系直接在圖形中得以實現(xiàn)。然后，借助于圖形的性質(zhì)在所構(gòu)造的圖形中尋求問題的結(jié)論。構(gòu)造的圖形，最好是簡單而又熟悉其性質(zhì)的圖形。這些圖形包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標(biāo)系得到的解析幾何圖形。

用構(gòu)造法解題時，要運用發(fā)散性思維，根據(jù)題目特點靈活處理，沒有固定的程序和模式。在運用構(gòu)造法時，一要明確構(gòu)造目的，即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清題目的特點，以便根據(jù)特點確定方案，實現(xiàn)構(gòu)造。

一、構(gòu)造圖形，求證乘法公式

初中數(shù)學(xué)教材介紹單項式與多項式乘法、多項式與多項式乘法法則時，是運用構(gòu)造長方形以其面積來反映的（見圖1、圖2）（北師版教材七年級下第31頁）。而平方差公式、完全平方公式則是用構(gòu)造正方形，用其面積來反映（見圖3、4）（北師版教材七年級下第37頁、第40頁）。

同理，兩數(shù)和與差完全立方公式，可用正方體的體積來反映。在教學(xué)中結(jié)合實物模型演示，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生聯(lián)想，積極思維，獲得的教學(xué)效果是意想不到的。

二、構(gòu)造圖形，驗證無理數(shù)

三、構(gòu)造圖形，證明不等式

四、構(gòu)造圖形，求距離

已知x，y均為正實數(shù)，且x+y=6.

五、構(gòu)造圖形，求解應(yīng)用題

在廣州——天津航線上，廣州遠(yuǎn)洋輪船公司每天中午有一艘輪船從廣州開往天津，并且在每天的同一時刻也有一艘輪船從天津開往廣州，輪船在途中往或返所花的時間都是六晝夜，問今天中午從廣州開往天津的船在整個航行途中將遇到幾艘本公司的船從對面開來？（即遇到本公司幾艘從天津開過來的輪船）

分析：此題極易造成錯覺誤解。對于條件和結(jié)論之間聯(lián)系較隱蔽問題，要善于發(fā)掘題設(shè)條件中的幾何意義，可以通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形把其兩者聯(lián)系起來，從而構(gòu)造出幾何圖形，把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決，增強問題的直觀性，使問題的解答事半功倍。不妨構(gòu)造若干條平行線直觀求解簡捷。如圖10，設(shè)今天是x號，今天到達廣州的船是x-6號從天津出發(fā)的。所以，航行途中將遇到本公司從天津過來的船有11艘。

總之，構(gòu)造圖形法在解題中的有效運用，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的和諧美，能把學(xué)生從枯燥的數(shù)學(xué)語言、符號引導(dǎo)到生動形象的數(shù)字與圖形的游戲中去，從而積極引導(dǎo)學(xué)生去體會、理解和運用這一數(shù)學(xué)思想方法，將會使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得益匪淺。運用構(gòu)造圖形法可以把一些復(fù)雜問題簡單化，在較短的時間內(nèi)抓住問題的本質(zhì)，既防止無關(guān)信息的負(fù)面干擾，又能舉一反三、觸類旁通。因此，借圖發(fā)揮，更容易成就精彩。

（作者單位 新疆石河子第十九中學(xué)）

編輯 張耀華