從初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模的實(shí)例中得到的啟示

摘 要：隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的不斷深入，建模思想已經(jīng)廣泛地體現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中。通過(guò)初中數(shù)學(xué)中的幾個(gè)數(shù)學(xué)建模的實(shí)例，改進(jìn)課堂教學(xué)方法，提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；解題能力

數(shù)學(xué)是學(xué)生從小學(xué)就開(kāi)始學(xué)習(xí)的一門(mén)課程，也是在生活和科研中運(yùn)用極為廣泛的一門(mén)自然科學(xué)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)階段逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。下面我結(jié)合幾個(gè)突例，談?wù)勗诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，希望能從中得到啟發(fā)，有助于以后的教學(xué)。

一、建模思想在應(yīng)用題中的運(yùn)用

在現(xiàn)實(shí)生活中存在著各種等量關(guān)系，如增長(zhǎng)率、行程、工程等問(wèn)題，同時(shí)也存在著不等關(guān)系，如最優(yōu)方案、方案設(shè)計(jì)、市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)等問(wèn)題。對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題常常建議學(xué)生可以通過(guò)建模的思想，建立方程（組）或不等式（組）模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

例1.有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

分析：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人。

開(kāi)始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個(gè)人，他傳染了x個(gè)人。

用代數(shù)式表示，第一輪后共有 人患了流感；第二輪傳染中，這些人中的每個(gè)人又傳染了x個(gè)人，用代數(shù)式表示，第二輪后共有 人患了流感。

列方程：1+x+x（1+x）=121.

解方程，得x1= ，x2= ，平均一個(gè)人傳染了

個(gè)人。

接著課本又提出思考：

如果按照這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患流感？

這個(gè)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，可以得出這樣的結(jié)論：

通過(guò)這個(gè)思考我們可得到，經(jīng)過(guò)n次傳染的人數(shù)，對(duì)患病人數(shù)有個(gè)預(yù)測(cè)，有利于我們下一步該采取什么措施。

讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活中的緊密聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，從而有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

二、建模思想在作圖題中的運(yùn)用

例2.如下圖，一老農(nóng)有一塊平行四邊形的土地，地里有一個(gè)圓形池塘，老農(nóng)立下遺囑：要把這塊土地平分給他的兩個(gè)兒子，中間的池塘也要平分，但不知道怎么做，你能想個(gè)辦法嗎？

分析：這道題實(shí)際上是兩個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形的組合圖形，要將其面積等分，只要找到一條直線，使其既等分平行四邊形的面積，又等分圓的面積即可。

連接平行四邊形的兩條對(duì)角線，其交點(diǎn)就是平行四邊形的中心，找出圓的圓心，過(guò)這兩點(diǎn)的一條直線，這條直線就將地與池塘的面積平分了。

作圖題與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，要求學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

三、建模思想在函數(shù)中的運(yùn)用

函數(shù)的題目，對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)很棘手，更別說(shuō)與實(shí)際生活聯(lián)系的函數(shù)題目了。其實(shí)這類(lèi)試題以數(shù)學(xué)建模為中心，旨在考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，教師可以將它們作為典例，以便為學(xué)生建立模型。學(xué)生可以通過(guò)學(xué)習(xí)范例、做習(xí)題等活動(dòng)來(lái)掌握一門(mén)科學(xué)知識(shí)及其方法。

例3.制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱達(dá)到60℃后，再進(jìn)行操作。設(shè)該材料溫度為y（℃），從加熱開(kāi)始計(jì)算的時(shí)間為x（分鐘）。據(jù)了解，設(shè)該材料加熱時(shí)，溫度y與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，溫度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系（如圖）。已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達(dá)到60℃。

（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度低于15℃時(shí)，須停止操作，那么從開(kāi)始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時(shí)間？

分析：本題主要考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式的求法。但由于本題是由一次函數(shù)和反比例函數(shù)組成的分段函數(shù)，所有要注意分類(lèi)討論，分別寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式。（1）顯然將材料加熱時(shí)，即0≤x≤5，y與x是一次函數(shù)，直線過(guò)點(diǎn)（0，15）、（5，60）；停止加熱時(shí)，即x≥5，y與x是反比例函數(shù)，圖象過(guò)點(diǎn)（5，60），易求得函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)材料的溫度低于15℃時(shí)，需停止操作，即令y=15，求對(duì)應(yīng)的自變量的值。

用函數(shù)觀點(diǎn)處理實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于分析實(shí)際情境，建立函數(shù)模型，并進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題置于已有的知識(shí)背景之中，用數(shù)學(xué)知識(shí)重新解釋這是什么？可以看到什么？逐步形成解決實(shí)際問(wèn)題的能力。而在解決問(wèn)題時(shí)，不僅要充分利用函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，還要注意函數(shù)不等式、方程之間的聯(lián)系，以及學(xué)科之間知識(shí)滲透。重要的有以下幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)：

1.通過(guò)分析，把實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系；利用構(gòu)建好的數(shù)學(xué)模型、函數(shù)思想來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題。

2.通過(guò)觀察圖像，把圖像中提供、展現(xiàn)的信息轉(zhuǎn)化為與函數(shù)有關(guān)的知識(shí)來(lái)解題。

教學(xué)中不僅要教知識(shí)，更重要的是教方法。這些實(shí)例都是從實(shí)際中提煉出來(lái)的，要通過(guò)這些知識(shí)的教學(xué)，幫助學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。還可以根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際，選擇一些實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生加以解決，提高他們應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)：

汪永梅，數(shù)學(xué)建模思想在初中教學(xué)中的運(yùn)用[J]，青海師范大學(xué)民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（01）.

（作者單位 江西省贛州市開(kāi)發(fā)區(qū)潭東中學(xué)）

編輯 張耀華