意外的教學案例

一、選題設想

學生正經歷高三一輪復習，各類公式已經復習過的前提下，考慮到學生對于三角問題已有的了解，如何選擇更優的方法來正確、快速的解題就是學生的“必修課”了。三角函數求值的題型，從認知結構上說，學生很容易理解題意，動手解題，但是使用方程組的思想還是變角的思想來解題更加便捷呢？怎樣幫助他們在解決三角函數求值問題時，正確深入地理解題意，有效準確地選擇解題方法呢？在建構主義理論的指導下，我以自主學習為前提，以探究建構為目的，精心設計了一節習題課。在課堂上，通過學生的練，教師的問，學生的問，學生的改和教師的評，利用教師和學生角色互換，使教學過程生動活潑。這不但幫助學生深化認識三角函數求值的問題，還進一步總結出了各類方法的特點，使學生能準確地選擇更優的解題方法。

二、預期效果

1.讓學生在掌握角的變換方法的基礎上，能夠自我總結形成觀察差異、探究公式使用的一般方法。

2.激發學生的探究欲望，能夠獨立或合作提出推導其他三角恒等式的方案，形成對三角恒等變換的本質認識，加深對靈活運用公式的理解。

3.培養學生的“問題意識”。在探索的過程中學會將“知識問題化”，大膽、合理地提出猜測，通過證明、完善，最終達到將“問題知識化”的目的。

三、案例回放

1.小題回顧，創設情境

師：前面我們一直在使用各類公式解題，那么下面這些是大家課前預習的題。我請部分同學起來對答案，談方法，再說公式。

生：……（前3題略）

師：我們來看第4題。請生1來回答。

師：有沒有提醒同學們注意的點？

生1：平方關系式開方要注意角的范圍，才能確定sinα值的正負。

師：很好。大家對于基礎內容都能熟練掌握和簡單運用，也能注意角的范圍問題了。第4題就是我們常見的已知簡單角的三角函數值求復雜角的三角函數值的題型。現在我們把這道題的已知和所求調換位置，大家也能快速地求出cosα值嗎？

2.展現方法，暴露思維

問題提出后，學生都在奮筆疾書，當時我設想，學生大多會習慣性將cos（α+■）展開，聯立方程組來解題。結果，不知是否因為我前面講課時強調求值題要關注角，所以不少學生使用了變換角的方法來解題。這是我意料之外的情況。于是，我將兩位學生不同的解答方法用實物投影的方式并排放到了一起，請學生討論和比較。

生2：（方程組）

生3：（變角）

經過比較后，大部分學生認為使用變換角的形式來解題更為方便，比方程組的方法要好。

3.比較學習，深入探究

師：我們來看例1，它就是我們所關心的題型。

在教室巡視時，發現學生的思維已經掉進了我所設計的“陷阱”。絕大部分學生使用變角的方法來解決問題，卻遲遲求不出答案。相反，使用方程組解題的學生則迅速地算出了正確答案。

師：不是變換角的方法更加簡單嗎？為什么遇到這道題行不通呢？兩題有什么區別？

生：剛才那道題有角的范圍，而這道題沒有，變換角時不能確定所求角的范圍，所以只能用方程組的方法。

（此時，教師展示了其中一位學生使用變換角的方法解題過程。學生沉默）

師：其實大家已經關注到了角范圍的問題，只用這個因素來選擇何種解題方法似乎太草率了。實踐出真知，我們再來看看下面兩題。請在解題時思考用什么解題方法，為什么？

部分學生因為上一題的關系，使用了方程組的方法來解題，在變（2）中受挫，計算十分復雜。部分學生還是使用了變換角的方法，結果變（1）和變（2）都順利地解決了。

師：大家的解題過程應該讓你們有所感悟吧。請問已知復雜角的三角函數值如何求解簡單角的三角函數值？什么條件下使用它們？

生：有角范圍的題用變換角的方法解題，沒有角范圍可以使用方程組的方法來解題。

師：那么，變（1）用方程組的方法能夠解決問題，但變（2）卻不行？是受什么條件影響呢？

（學生沉默）

四、教學感悟

實際教學中，很多時候教師喜歡采用“告訴”的方法，告知學生錯因和注意事項，對容易出錯的問題提前暗示，事先指出，讓學生“防患于未然”。但效果如何呢？往往是學生聽起來懂，做起來錯，學生責怪自己粗心，教師埋怨學生太笨，果真如此嗎？癥結何在？正如著名的數學教育家馬明先生說的那樣：“猶如拋盤子節目，老師拋得越快，學生丟得也越快。”成功的樂趣只有在經歷失敗的痛楚后才能獲得更深切的體驗。這節課下了以后，不少學生過來對我說：“老師，我今天很高興，第一次有了自己努力也能解決數學問題的想法。”這堂課的不足在于有學生正確使用變換角的方法求解例1時，我未能及時分析或是請該生講解，錯過了一次辨析的機會；另外，我的提問過于形式化、簡單化，雖然是以學生為主體，多讓學生互相辨析、發表意見，但整節課顯得有些松散缺乏效率。以后，我會在教學中繼續發揚這種做法，備課時多注意問題的用詞和串聯。

（作者單位 江蘇省南京市文樞中學）

編輯 張耀華