關于高中數學矩陣特征值與特征向量的求解

摘 要：矩形是線性代數的主要研究內容，而且在眾多的領域都有著廣泛地應用。在多數《高數》教材中和大部分《線數》教材中關于特征值與特征向量有完全不同的定義。但實際上它們之間的關系是線性代數理論中最為精彩的一頁。通過關于矩陣特征值與特征向量的求解使我們體會到運用矩陣的特征值理論，使解決問題的方法變得簡便巧妙。

關鍵詞：矩陣；特征值；特征向量

在多數《高數》教材中，特征值與特征向量的引入是為了研究線性空間中線性變換A的屬性，其定義如下：設A是數域P上線性空間V的一個線性變換，如果對于數域P中的一數λ，存在一個非零向量？孜∈V使得A？孜=λ？孜那么λ稱為A的一個特征值，而？孜稱為A的屬于特征值λ的一個特征向量。

在大部分《線數》教材中，特征值與特征向量的討論被作為矩陣理論研究的一個重要組成部分，其定義如下：設A是數域P上的一個n階方陣，若存在一個數λ∈P以及一個非零n維列向量 使得Ax=λx則稱是矩陣A的一個特征值，向量x稱為矩陣A關于特征值λ的特征向量。

從表面上看，這是兩種關于特征值與特征向量完全不同的定義，但實際上它們之間的關系是線性代數理論中最為精彩的一頁。

一、對于具體的數字矩陣A=（aij）n×n，求A的特征值與特征向量的步驟

第一步由A-λE=0求得A的n個特征值，設λ1，λ2，…λt是A的互異特征值，其重數分別為r1，r2，…，rt，且r1+r2+…+rt=n.

第二步求解齊次線性那個方程組（A-r1E）x=0（i=（1，2，…，t）其基礎解系就是A對應特征值λ1的線性無關的特征向量，設基礎解系為Pi1，Pi2，…Pit（1≤si≤ri）則A對應特征值λ1的全部特征向量為ki1Pt1+ki2Pt2+…+kisiPtsi（ki1，ki2，…，kisi不全為0）

注1：求特征多項式A-λE時最好先用行列式性質化簡，并提取λ的一次多項式，然后展開計算。如果求出n階A的特征多項式如A-λE=（-1）nλn+an-1λn-1+…+a1λ+a0，且其中ai（i=0，1，2，3…，n-1）均為整數，則A得整數特征值（如果存在）應該是常數項a0的因子，因此可以通過對a0的所有整數因子的驗證來求出A的特征值（北京大學數學系幾何與代數教研小組編寫的高等代數教材第二版第一章第9節有理系數多項式的定理12）。

注2：計算特征多項式是難點，方法一，觀察特征矩陣的每一行之和，若相等均為a，則將第2列及以后各列都加到第1列，提公因子，再化簡，并且a就是其中的一個特征值，（1，1…，1）r為A的屬于特征值a的特征向量。方法二，將特征矩陣的兩個非零常數（不含參數λ）之一化為零，若有公因子，提出再化簡。

由上可知，求特征值與特征向量是比較煩瑣的。由特征方程求特征值總要解帶參數的行列式，且只有先求出特征值方可由方程組求特征向量。由特征方程求特征值總要解帶參數的行列式，而且只有先求出特征值方可由方程組求特征向量。下面我們換一種思路，討論矩陣特征值與特征向量是否可以同步求解。

二、矩陣特征值與特征向量的同步求解法

以上給出了一般方陣同步求解特征值和特征向量的方法，下面將方陣加以限制，我們將討論用不同于上述的方法同步求解可化為對角型方陣的特征值和特征向量。

為了定理的敘述方便，先給出一個定義。

把矩陣的下列三種變換稱為行列互逆變換：

（1）互換i，j兩行，同時互換i，j列；（2）第i行乘非零數k，同時第i列乘■；（3）第i行k倍加入第j行，同時第j列-k倍加入第i列a4=（-1 1 1 -1）T

從以上看出，可對角化的矩陣用以上方法同步求特征值和特征向量可行，下面把可對角化的矩陣推廣到任意n階方陣，仍用此法同步求特征值和特征向量。

以上主要研究了關于特征值與特征向量的幾個問題，首先是對矩陣的特征值與特征向量的求法進行了改進，接著通過分了五種類型來探討通過特征值與特征向量來解原矩陣的幾個類型，最后給出了應用特征值與特征向量來求可逆矩陣T，使T-1AT成若爾當標準形的方法，希望通過本文，能對矩陣的特征值與特征向量有更深層次的理解，能對矩陣理論的研究有一定的幫助。

參考文獻：

[1]陳光大.高等代數習題詳解[M].華中科技大學出版社，2006.

[2]王萼芳，石生明.高等代數輔導與習題解答[M].高等教育出版社，2007.

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[4]張肇熾，曹錫華.線性代數及應用[M].西安：西北工業大學出版社，1988.

（作者單位 河北省衡水市鄭口中學）

編輯 孫玲娟