圓錐曲線切線方程的五種求法

切線對于研究圓錐曲線的性質具有十分重要的作用，中學階段常用的求圓錐曲線的切線方程的方法主要有以下五種：

一、向量法

在求圓的切線時，可以利用圓心和切點的連線垂直于切線以及向量的內積運算來求。

例1.已知圓O的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，求經過圓上一點M（x0，y0）的圓的切線l的方程.

解：設所求切線l上任意一點N的坐標是（x，y）

由已知得：點O的坐標是（a，b），且M的坐標是（x0，y0），

值得注意的是：此種方法只對于橢圓問題有效.

三、判別式法

也可以利用一元二次方程根的判別式來求圓錐曲線的切線方程，這種方法也是中學階段的常用方法之一.

例3.求經過點M（2，1）的雙曲線：x2-2y2=2的切線l的方程.

將它代入方程x2-2y2=2中整理得：

（2k2-1）x2-4k（2k-1）x+（8k2-8k+4）=0，

由已知得：△=[-4k（2k-1）]2-4（2k2-1）（8k2-8k+4）=0，

解得：k=1，故所求切線l的方程為：y=x-（2×1-1），

即：x-y-1=0.

四、導數法

新教材中介紹了微積分的初步知識，我們也可把圓錐曲線的方程看作關于x的隱函數，利用導數求圓錐曲線的切線方程：

例4.此處仍以上面的例3為例.

解：對方程：x2-2y2=2兩邊都取關于x的導數，

得：2x-4yy′=0，

∴過點M（2，1）的雙曲線x2-2y2=2的切線l的方程為：x-y-1=0.

五、幾何法

通過對橢圓、雙曲線以及拋物線的幾何性質的研究，我們知道：若焦點為F1、F2的橢圓或雙曲線上有一點M，則∠F1MF2的平分線一定與圓錐曲線相切；又若焦點為F的拋物線上有一點M，過M作準線的垂線，垂足為N，則FN的中點P與M的連線PM必與拋物線相切。據此，我們也可以將圓錐曲線的切線先用幾何方法做出來，然后再求出切線的方程：

例5.求拋物線C：y2=8x上經過點M（8，8）的切線l的方程.

解：由拋物線C的方程可得其焦點F為（2，0），準線方程為：x=-2，

過點M（8，8）作準線的垂線，設垂足為N，則N的坐標是（-2，8），

又設FN的中點為P，則P的坐標為（0，4），

（作者單位 山東省滕州市第一中學）

編輯 劉俊婷