新課程下的習題變式訓練

課本例題、習題的編排是教材編寫者匠心獨具的表現。在數學教學中，教師除了對教材知識進行系統的、邏輯化的講授之外，還要安排學生完成教材設置的一系列針對性極強的數學習題，進行數學的“模擬實踐”（即解數學習題），通過這樣的活動來達到對數學知識的完全掌握。課本習題變式是高考命題教師組織試題的重要來源，命題教師往往依據各自的教學經驗或數學活動，從課本習題上“變式”取材。作為教師應認真研究教材、大綱，透徹理解編者的意圖，而不是對新知識簡單的重復、模擬，更不是讓學生“依葫蘆畫瓢”。

教材中的例題與課外習題是兩個層次的數學問題系列：例題具有典型性、簡單性、及時性、針對性等特點；課外習題，在這個基礎上還體現數學知識的綜合性、滲透性、遷移性、指導性，其解題難度超載了課本例題的能力要求。在高中階段，總會有一部分的學生不適應高中的數學教學方法內容，造成成績落差大。我們針對每節內容都出一份小練習，其中選擇題4小題，填空題2小題，再配一題解答題，難度要求分梯度，只有在最后一題的一個小題安排一個較難的問題，這樣的小練習的容量，學生10分鐘左右就可以完成，教師再根據實際情況，用5～10分鐘的時間進行講評，因為難度不高，入手容易，這樣大部分的學生都能做。而在每個章節的教學結束后，教師對教材中有意安排的一些具有典型性、綜

合性、難度相對較大的習題進行教學研討是完全必要的。

抓住教材中代表性習題，啟發學生進行探索，對提高學生思維的廣闊性與靈活性，培養學生發散思維大有益處。以新教材人教版第二冊一道習題的變式為例，探討變式訓練。

例1.過拋物線y2=2px的焦點的直線與拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1、y2，求證：y1y2=-p2（如圖1）。

這道題有兩點值得注意：一是拋物線的焦點為定點，二是y1y2=-p2為定值。

由此可向以下幾個方向展開聯想，進行探索：

一、探索拋物線的幾何性質

變式一：直線l與y2=2px相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）。若：y1y2=

-p2，那么該直線是否過拋物線的焦點？

解：兩個交點在拋物線上，則y21=2px1，y22=2px2，

若x1=x2，則有y21=y22，∴y1=y2=p，x1=x2=。此時直線AB過焦點F。

若x1≠x2，則有y21=2px1，y22=2px2，兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=2p（x1-x2），

即KAB=（y1-y2）/（x1-x2）=2p/（y1+y2），

∵KAF=y1/（x1-）=2py1/（y21-p2）=2py1/（y22+y1y）=2p/（y1+y2），

∴KAB=KAF，因此A、F、B三點共線，直線AB過焦點F。

可知：AB過焦點的充分必要條件是y1y2=-p2。

變式二：（例1的推廣）將過焦點改為過定點M（a，0），問y1y2是否為定值？反之，若y1y2=k為定值，那么該直線是否過一定點？

解：設直線AB的方程為x=ky+a，代入y2=2px中消去x，整理得：y2-2pky-2pa=0，由韋達定理知：y1y2=-2pa（定值）。反之，答案也是肯定的。

二、探索拋物線有關點的軌跡

變式三：如圖2，F為y2=2px的焦點，過F的直線與拋物線相交于兩點A、B，過頂點O作OP垂直AB于P，探求點P的軌跡方程。

解：設P（x，y），F（，0）。

由OP⊥PF，知·=0。

∵=（x，y），=（x-，y）

∴x（x-）+y2=0，化簡得（x-）2+y2=p2/16

此即為點P的軌跡方程。

事實上，由于直線AB過定點F，OP⊥PF，因此點P在始終在OP為直徑的圓上。

變式四：與變式三相類似，將過焦點改成直線AB始終過定點M（a，0），此時P的軌跡是以OM為直徑的圓。

三、探索拋物線的弦中點的軌跡

變式五：F為y2=2px的焦點，過F的直線與y2=2px相交于A、B，P為AB的中的，探求P的軌跡方程。

解：設中點P（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），

則2x=（x1+x2），2y=（y1+y2），

則KAB=2p/（y1+y2）=p/y，

又KPF=y/（x-），

由KPF=KAB得y2=p（x-），

即為點P的軌跡方程。

變式六：A（x1，y1）、B（x2，y2）為y2=2px的兩個動點，若y1y2=k（k為常數），P是AB中點，探求P的軌跡方程。

解：設中點P（x，y），則2x=（x1+x2），2y=（y1+y2），

由點A、B在拋物線上有y2=px+。此即為所求的軌跡方程。

從以上對課本習題的變式探索中，可以體會到課本習題中蘊含著豐富的數學價值。這一點為歷年高考試卷分析所確證。認真探索課本習題的內涵與外蘊，提高學生發現問題、提出問題的能力，才是新課程習題練習的意義所在。

（作者單位 福建省南平市教師進修學院）

編輯 司 楠