抽象不等式的一類解法

摘 要：對抽象不等式的解法作了系統研究，從培養學生的觀察聯想能力入手著重分析了解這類題型的通性通法。

關鍵詞：抽象不等式；單調性；導數；聯想；構造

在高中階段，解抽象不等式是一種常見題型。本人就上學期的教學實踐，略談一下我對這種題型的看法。

一、觀察目標，化異為同

解不等式的主要依據是利用函數的單調性，當目標式坐標是函數，右邊為常數時，需要我們將目標不等式化為統一形式，才能借助函數的單調性解決。

例1.已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調遞增函數，f（xy）=

f（x）+f（y），且f（2）=1，則不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集為_____。

解析：∵f（x）+f（x-3）=f（x2-3x），2=f（2）+f（2）=f（4）

∴ f（x2-3x）≤f（4）

∴x>0

x-3>0

x2-3x≤4

故解集為（3，4]。

點評：當抽象不等式左右不統一時，通過適當的變形化為同構，再利用某個函數f（x）的單調性脫去對應法則這層抽象的外衣，同時解抽象不等式時還要注意等價變形，特別是函數的定義域

問題。

二、仔細審題，主抓函數性質

有些題目，并未完整地給出函數的單調性，這時需要我們認真審題，弄清函數的性質。可通過奇偶性、對稱性等得出另一半區間的單調性，從而在整體上把握函數的圖象特征，再利用數形結合思想快速解題。

例2.已知定義在R上的奇函數f（x），設其導函數為f′（x），當x∈（-∞，0]時，恒有

xf′（x）

F（2x-1）的實數x的取值范圍是__________。

分析：很顯然是要弄清F（x）的單調性才能解不等式。

由題意知，①F（x）=xf（x）為R上的偶函數；②當x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）

經化簡，即xf′（x）+f（x）<0恒成立，即當x∈（-∞，0]時，（xf（x））′<

0恒成立。

即F（x）在（-∞，0]上單調減，

結合①知，F（x）在（-∞，0]上單調增。

由F（x）圖像知2x-1<3，

解得x∈（-1，2）。

點評：本題借助奇偶性將F（x）另一半的單調性進行了順利轉化，再借助圖像簡化了運算過程。

三、條件結論聯系看，聯想對比構造新函數

當函數的單調性不是很明確，目標不等式又不能輕易化為統一形式時，可以先抓單調性（往往以含有導數的不等式出現），再將目標式化為同構形式，有時這兩者需要聯想去看，推理和驗證構造的新函數是否合理有效。

例3.函數f（x）的定義域為R，f（-1）=2，對任意的x∈R，f′（x）>2，則f（x）>2x+4的解集為_____。

解析：∵f′（x）>2 ∴f′（x）-2>0

可構造F（x）=f（x）-2x，則F（x）在R上單調增

由目標f（x）>2x+4可將其變形為f（x）-2x>4；而F（-1）=f（-1）-2×（-1）

∴F（x）>F（-1）

∴x∈（-1，+∞）

當然，構造的新函數不唯一，關鍵取決于目標式如何化簡。比如，將目標式化為f（x）-2x-4>0，則可以構造這樣的新函數G（x）=

f（x）-2x-4。

例4.設定義在R上的函數f（x），f（1）=2，f（x）<1，則不等式 的解集為__________。

解析：∵f′（x）<1

∴f′（x）-1<0

猜想需構造的函數可能為F（x）=f（x）-x

驗證新函數的過程如下：目標式f（x2）

令t=x2，則f（t）

故確定的新函數為F（x）=f（x）-x，從而F（t）

又∵F（x）在R上單調減

∴t<1即x2<1，所以原不等式的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）

例5.設定義在R上的函數f（x），滿足f（1）=1，f（x）ex-1的解集為_____。

解析：由題意得f（x）-f′（x）<0猜不出需要構建的新函數，再結合目標式，區別于以往不等式的右邊不是常數，所以這時我們需要將不熟悉的轉化為熟悉的，即可以將不等式的右邊先化為常數，左邊為關于x的函數，即很明顯，我們需要構造

F（x）= ，同時還要研究F（x）的單調性。

∵F′（x）

∴F（x）在R上單調增。

上述三題在構造新函數時，可先根據導數式的變形推測原函數的結構，如果行不通，可從目標不等式出發，將一邊化為x的函數，另一邊化為常數的形式，再將常數化為與左邊同構，從而構建新函數。

在數學教學中，我們應不斷啟發學生去發現問題、思考問題，教會他們解決問題的方法。在條件和問題之間尋找和諧統一，鼓勵學生細心觀察，聯系推理，培養學生合情推理和嚴格論證的思維能力。

（作者單位 江蘇省如皋市薛窯中學）

編輯 司 楠