求解“不等式恒成立問題”的常見方法

“不等式恒成立問題”是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常見題型，它把不等式、函數(shù)等內(nèi)容結(jié)合起來，因覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，解法靈活等特點(diǎn)而備受高考命題者的喜歡。在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對提高學(xué)生的綜合解題能力、培養(yǎng)思維有很大作用。下面就結(jié)合常見實(shí)例談?wù)勥@類問題的幾種求解方法。

一、判別式法

若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般的，對于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0，x∈R），有

二、函數(shù)值域最值法

將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：

三、轉(zhuǎn)換變量法

若所給的不等式能通過恒等變形能使要求的變量的范圍與題目中含的參數(shù)發(fā)生轉(zhuǎn)換并且最好能放在不等式兩端，通過這種轉(zhuǎn)換將變量和參數(shù)的地位發(fā)生變化。借助變量達(dá)到求參量的范圍。

四、函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合利用

利用函數(shù)在給定的區(qū)間或者定義域的單調(diào)性，結(jié)合最值，求解恒成立也很常見。

上面是我在教學(xué)實(shí)踐中，結(jié)合函數(shù)、方程、不等式等相關(guān)知識(shí)，解決不等式恒成立的問題的一些體會(huì)。

（作者單位 江西南昌外國語學(xué)校）

編輯 劉青梅