對高中數學函數部分“恒成立”問題的研究

摘 要：恒成立問題是高中數學的一類重要題型，很多函數問題都需轉化為恒成立的問題才可解決。該類問題有較高的綜合性和靈活性，往往通過一道綜合試題即可全面考查學生靈活運用數學知識、數學思想方法的能力，考查學生數學思維的深刻性和敏捷性。

關鍵詞：函數；恒成立；轉化；最值

恒成立問題是高中數學的一類重要題型，很多函數問題都需轉化為恒成立的問題才可解決。該類問題有較高的綜合性和靈活性，往往通過一道綜合試題即可全面考查學生靈活運用數學知識、數學思想方法的能力，考查學生數學思維的深刻性和敏捷性。本文將探討解決恒成立問題的如下三種策略：二次函數法——轉化為二次函數圖象的問題（利用數形結合的方法解決）；分離變量法——轉化為求函數的最值；構造函數法——轉化為求含參函數的最值。

一、二次函數法——轉化為二次函數圖象的問題（利用數形結合的方法解決）

二次函數是高中數學中解決函數問題最重要的工具之一，在恒成立問題中，有許多問題本身就是或可以轉化為關于二次函數恒成立問題。所以二次函數恒成立問題是恒成立問題中的一個重點。而解決二次函數恒成立問題的專屬方法是利用數形結合的思想，根據已知畫二次函數圖象列代數式。雖然二次函數恒成立問題作為一類特殊的恒成立問題，也可以用后面總結的方法解決，但該方法體現了重要的數學思想，所以在此將其作為一種方法介紹。

綜上所知，a的取值范圍是[-7，2]。

該方法的核心思想是數形結合，關鍵是根據已知畫出二次函數的圖象，而難點也是根據畫出二次函數的圖象，然后根據圖象一般從開口方向、判別式、對稱軸和特殊點函數值四個方面列式。要正確利用該方法解題，需做好以下兩方面：（1）畫圖一般要分類討論，而在分類時要做到“不重復，不遺漏”，即盡量避免重復，而絕不能少考慮情況；（2）數形結合要做利用好圖的直觀性和數的精確性，即畫圖要有代表性并且相對準確。

二、分離變量法——轉化為求函數的最值

分離變量法是將主變量和參數分離，用主變量表示參數，一般將命題轉化為“在某個區間D上，a≤f（x）或a≥f（x）（其中x為主變量，a為參數）”的形式，從而將問題轉化為“求函數f（x）在區間D上的最大值或最小值”，則a小于等于函數f（x）在區間D上的最小值或a大于等于函數f（x）在區間D上的最大值。例如下題：

三、構造函數法——轉化為求含參函數的最值

構造函數法是通過構造含參函數y=f（x），將命題轉化為“在某個區間D上，f（x）≥0或f（x）≤0”的形式，從而將問題轉化為“求函數f（x）在區間D上的最大值或最小值”，則通過解不等式“最小值大于等于0或最大值小于等于0”求解參數的范圍。

綜上所知，a的取值范圍是（-∞，e）

構造函數法是解決此類問題的一般方法，在高中階段恒成立問題幾乎都可用構造函數法解決，即通過構造含參函數，求其最值，然后解不等式。一般情況下它不如分離參數法簡便，因為求解最值時一般要對參數進行分類討論，操作更為復雜，例如例3，而例3也可用分離參數相對簡便一些。若將第（2）問的條件變為x∈[-1，+∞），則分離參數就不易操作了，所以本方法更具一般性。

恒成立問題是高中數學的一類重要題型，對學生能力的要求較高。本文總結了解決函數恒成立問題的三種方法，意在在數學教學過程中幫助學生建立解決此類問題的一般思路，領會其蘊含的數學思想，提升學生的能力。

（作者單位 北京市第二中學亦莊學校）

編輯 劉青梅