導數在高考解題中的應用

摘 要：導數是高考數學必考的內容，近年來高考加大了對以導數為載體的知識問題的考查，題型在難度、深度和廣度上不斷地加大、加深，從而使得導數相關知識愈發顯得重要。從導數在函數、不等式、數列、解析幾何等四個方面來探討導數的應用。

關鍵詞：導數；函數；不等式；數列；解析幾何

導數是高中數學知識的一個重要交匯點，是聯系多個章節內容以及解決相關問題的重要工具。導數為解決函數的最值、函數極值、單調區間及函數圖像等問題提供更有效的途徑、更易行的方法和更簡便的手段。

一、導數在函數中的應用

1.導數在判斷函數的單調性、最值中的應用

利用導數來求函數的最值的一般步驟是：（1）先根據求導公式對函數求出函數的導數；（2）解出令函數的導數等于0的自變量；（3）從導數性質得出函數的單調區間；（4）通過定義域從單調區間中求出函數最值。

2.導數在函數極值中的應用

利用導數的知識來求函數極值是高中數學問題比較常見的類型。利用導數求函數極值的一般步驟是：（1）首先根據求導法則求出函數的導數；（2）令函數的導數等于0，從而解出導函數的零點；（3）從導函數的零點個數來分區間討論，得到函數的單調區間；（4）根據極值點的定義來判斷函數的極值點，最后再求出函數的極值。

3.導數在求參數的取值范圍時的應用

利用導數求函數中的某些參數的取值范圍，成為近年來高考的熱點。在一般函數含參數的題中，通過運用導數來化簡函數，可以更快速地求出參數的取值范圍。

（2011年·江蘇高考·T19）已知a，b是實數，函數f （x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f ′（x）和g ′（x）分別是f （x）和g （x）的導函數，若f ′（x）g ′（x）≥0在區間I上恒成立，則稱f （x）和g （x）在區間I上單調性一致。（1）設a>0，若f （x）和g （x）在區間[-1，+∞）上單調性一致，求實數b的取值范圍；（2）設a<0且a≠b，若函數f （x）和g （x）在以a，b為端點的開區間上單調性一致，求a-b的最大值。

【思路】本題考查的是導數與函數的綜合知識，在解決本題時要注意挖掘已知的信息，注意條件的轉化，函數f （x）和g （x）在區間[-1，+∞）上單調性一致，可以轉化為導數之積恒為正來處理。

二、導數在不等式證明方面的應用

導數在不等式證明方面的應用關鍵在于從不等式的結構特征中，聯想出與不等式對應的函數，然后構造函數，最后將不等式的證明轉化為函數問題。再接著求出函數的單調區間進而得到滿足不等式的自變量的取值范圍或利用函數的單調性得到所證明的不等式。

三、導數在數列、解析幾何方面的應用

數列是高中數學中一個重要的知識點，也是個難點。利用導數解決數列問題的關鍵在于結合數列的結構特征，根據求導公式聯想與之相對應的函數再構造函數，然后再通過導數來解決相關的數列問題。而導數在解析幾何方面的應用所利用的知識點是導數的幾何意義，而導數的幾何意義是函數y=f （x）在點x0處的導數f ′（x0），就是曲線y=f （x）在點（x0，f （x0））處的切線方程的斜率。下面結合某些高考題介紹導數在解決數列問題的基本方法與思路。

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（作者單位 湖北工業大學商貿學院基礎課部）

編輯 劉青梅