一個具階段結構的離散時間周期模型的強持久性

摘 要：該文對一個具階段結構的離散時間周期模型進行研究，通過構造輔助方程及一些分析、計算技巧獲得了該系統具有強持久性的一個充分條件。

關鍵詞：持久性 周期模型 半環 上極限 下極限

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）05（a）-0223-02

Zhang和Dai在文[1]中研究了如下離散系統：

其中均為以為周期的序列，為一給定正整數.作者采用Mawhin延拓定理研究了系統周期正解的存在性.

本文的主要目的是研究系統的強持久性[2].結合實際生物意義，只考慮系統對應于初始條件均為正值的解.為方便起見，對周期序列引入記號，，.

1 系統（1.1）的強持久性

引理2.1[3] 對初值問題（2.1）：，若

是周期序列且.則（2.1）存在以為周期的正解

引理2.2 對（1.1），若（H1）成立，則存在使得.

證明 由（1.1）的第一個式子，有

構造輔助方程（2.3）：.由條件（H1）及引理2.1，（2.3）至少存在一個周期正解，記為.令. 則由（2.2）得由（2.3）有

.令，于是

下面分三種情形來討論：

情形1：最終為正. 則對充分大的有.于是， .

情形2：最終為負.由（2.4）式，有對充分大的成立，表明是遞增序列，于是存在且.由（2.4）式，得

而故必有.于是.于是

.

故.

情形3：關于零點振動.由式（2.4），我們知道若那么記是所有負半環的第一個元素所組成的集合，則其也是所有負半環最小元素的集合. 那么，有

由（2.4）得

于是有.由下極限的性質，得：

另一方面，易知，曲線與只有唯一交點，設交點橫坐標為，且當時，曲線始終在上方.于是，（2.6）式要想成立，須有.（2.7）

而由（2.5）得.再由下極限性質及（2.7）式，則

于是，有.故，

綜上三種情形，有證畢.

與引理2.2的證明類似，可有如下結論：

引理2.3 對（1.1），若（H2）成立，則存在，使得.

引理2.4 對于系統（1.1），存在一個正的常數，使得.

證明 由（1.1）的第二個式子有.

兩邊取倒數，并令得

構造如下輔助方程

根據引理2.1，方程（2.9）至少存在一個周期正解.令以及

則.同時可得.令則有.（2.10）

下面分三種情形進行討論：

情形1：最終為正.則對充分大的有于是存在.根據式（2.10），必有結合上極限的性質，易知.

情形2：最終為負.由變換得.

情形3：關于零點振動.由（2.10）知，當時，有.設為所有正半環的第一個元素所組成的集合，則其也是所有正半環最大元素的集合.于是結合（2.10）式及，得

則于是那么.（這里）{.證畢.

定理 對系統（1.1），若條件（H1）（H2）成立，則系統（1.1）具有強持久性.

證明 取根據引理2.2—引理2.4，對系統（1.1）的任意解總有證畢.

參考文獻

[1]Zhang na，Dai binxiang，Qian xiangzheng.Periodic Solutions of A Discrete Time Stage-Structure Model[J]. Nonlinear Analysis，2007，8（1）：27-39.

[2]馬知恩.種群生態學的數學建模與研究[M].安徽：安徽教育出版社，2000.

[3]Fan yonghong，Li wantong.Permanence for A Delayed Discrete Ratio-Dependent Predator-Prey System with Holling Type Functional Response[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2004，299（1）：357-374.