對曲線方程教學的幾點建議

摘要：在數學教學中，以概念教學為主講清曲線和方程的概念，使學生理解并初步掌握直角坐標系中曲線與方程的關系和軌跡的概念；通過數、形結合思想的教學，使學生了解曲線和方程是同一個運動規律在“形”和“數”這兩個不同側面上的反映，這些是提高曲線方程教學的有效方法。

關鍵詞：曲線方程；教學；建議

在初中代數的函數及其圖像部分已出現過平面上點的坐標的概念，實際上這是平面解析幾何的第一個基本概念。而高中學習曲線和方程的概念則是平面解析幾何的第二個基本概念。點和坐標的對應、曲線和方程的對應，集中地反映了解析幾何的基本思想和基本方法。至此，解析幾何才從理論和方法上系統地進入對本學科的基本問題的研究，即根據已知條件，求出平面曲線的方程，再通過方程，研究平面曲線的性質，為以后的圓錐曲線內容作了理論和方法上的準備，它在平面解析幾何有承上啟下的作用。

一、從學生實際出發，講清曲線和方程的概念

1.聯系平面幾何中的軌跡概念，講清曲線和方程的概念

由于曲線和方程的對應關系比較抽象，學生不易理解，教師在教學中必須注意從學生的知識實際出發，可以先適當地復習平面幾何中有關軌跡的概念，再把曲線和方程的概念與平面幾何中軌跡的概念相比較，弄清這兩個概念間的聯系和區別，這對于學生掌握曲線和方程的概念十分必要。平面幾何中的軌跡就是平面內適合某種條件的點的集合，而解析幾何中曲線和方程的概念，是把平面上的曲線置放在平面直角坐標系后再建立起來的。由于平面內的點與作為它的坐標的有序實數對建立了一一對應的關系，曲線上的點所滿足的條件反映在點的橫坐標x與縱坐標y之間有一定關系，這個關系通常用關于x、y的方程f（x，y）=0表示出來。也就是說，平面軌跡中的幾何條件在曲線和方程的概念中被轉化成方程了，因此，曲線和方程的概念與軌跡的概念一樣，有它的純粹性和完備性。“曲線上的點的坐標都是這個方程的解”，闡明曲線上沒有坐標不滿足方程的點（純粹性），“以這個方程的解為坐標的點都在曲線上”，闡明適合條件的所有點都在曲線上（完備性）。

2.從集合的意義來理解曲線和方程的概念

如果把直角坐標平面上曲線上的點所組成的點集記作A，方程，f（x，y）=0的解所對應的點的集合記作B，那么，曲線和方程之間有兩種關系：

（i）曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

（ii）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，反映在集合A和B之間的關系上，就是A=B。

引導學生從兩個集合相等的意義上來理解上述兩條規定的必要性，有助于學生掌握曲線和方程的概念。

3.要注意引用反例，以加深對曲線和方程概念的理解

曲線與方程之間的關系可以有三種情形：

①上述關系（i）（ii）都滿足的；

②只滿足關系（i）的；

③只滿足關系（ii）的。

對于后兩種情形，它們的方程的解集與曲線的點集不一一對應。在情況②中，有曲線外的點，它的坐標是方程的解在情況③中，曲線上存在點，它的坐標不是方程的解。②③兩種情形下的方程不能叫曲線的方程，曲線也不能叫方程的曲線。

到坐標軸距離相等的點所形成的曲線與方程y=x之間的關系，屬于上述第③種情形。

二、通過數、形結合思想的教學，對學生進行對立統一觀點的教育

求曲線的方程問題貫穿解析幾何的始終，剛開始，教學中所涉及的曲線應以學生學過的圖形為主，求曲線的方程時所用到的代數運算不宜過繁（如要有理化的二次根式，不超過兩個），在教學舉例中應盡量選用結論和運算都比較簡明的問題，這樣就有利于突出重點，闡明求曲線方程的每一個步驟的意義。

1.在求曲線的方程時，首先要建立坐標系。在具體問題中有兩種情形：一是研究的問題已經給定了坐標系，此時就在給定的坐標系中求方程即可；二是問題中沒有確定坐標系，此時必須首先選取適當的坐標系，這兩種情形都應通過典型的例題來作說明。特別對第二種情形，應通過舉例，對同一問題所選取的幾種不同坐標系作比較，讓學生理解坐標系選取得適當，可以使運算簡單，所得的方程也較簡單的道理，這將有利于對曲線的研究。通常應讓學生逐步掌握下列幾種選曲坐標系的方法，

若條件中只出現一個定點（或一個定圓），常以定點（或定圓的圓心）為原點去建立直角坐標系；

若已知兩個定點A、B（或定線段AB），常以AB的中點O為原點，AB為x軸建立直角坐標系；

若已知兩條互相垂直的定直線，就以它們為坐標軸建立直角坐標系；

若已知一定點A和一條定直線l，常以點A到直線l的垂直線段的中點為原點，以點A到直線l的垂線的反向延長線為留軸建立直角坐標系；

若已知定角，常以定角的頂點為原點，定角的角平分線為x軸建立直角坐標系；當定角為直角時，則以角的兩邊為坐標軸建立直角坐標系。

教師還應向學生指明，同一條曲線，在不同的坐標系中，方程是不同的，但它們始終表示同一條曲線。

2.要解決好由曲線上的點所要適合的條件列出等式求曲線方程這一難點，特別要注意尋找隱蔽在條件中的等量關系。為了解決這個難點，建議：（1）在舉例和練習上要由淺入深，盡量從簡單明顯的等量關系開始，逐步加深。（2）對幾何圖形中等量關系比較復雜和隱蔽的例題，教學中應對有關的知識做必要的復習或提示。（3）在分析數量關系時，要求學生仔細審題，要著重分析已知條件和曲線的特征，要抓住與所設的曲線上任意一點有關的等量關系。

3.要重視用正確的坐標式去替代等量關系的訓練。用坐標表示條件后就將幾何等量關系轉化為方程了，轉化的關鍵是能用正確的解析式去替代幾何量，為了使學生較好地掌握這個環節，可以在復習坐標法的基礎上加以訓練，并引導學生作歸納、小結。

總之，曲線方程是數學教學的重要組成部分，對學生的分析能力、邏輯思維等提高有著促進作用，因此，我們數學教師要不斷探索和研究有效的教學方法。

參考文獻：

1.奚定華.平面解析幾何.上海教育出版社，2003（1）.

2.郎咸平.新編平面解析幾何解題方法全書.哈爾濱工業大學出版社，2010（1）.