微積分中求極限的常用方法分析

【摘要】極限在微積分理論是一個非常重要的概念，是貫穿著微積分理論的一條主導線索，極限的計算基礎應當作為學習微積分的重要前提，對微積分理論中一元函數極限的常見計算方法進行相關的歸納總結，主要目的在于提升微積分理論課程的教學質量水平與學習方法。

【關鍵詞】微積分 極限 常用方法

【中圖分類號】O172 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0150-02

1.引言

微積分屬于研究變量形式的一門學科，極限作為微積分理論中的一個重要概念，其理論體系的確定使微積分具備了充分的邏輯思想基礎，促使微積分理論在日常科學領域中能夠得到更為廣泛的應用與發展，因此計算極限成為微積分理論的重點內容。求取極限是掌握微積分理論的重要前提，熟練運用求取極限的各種方法，可以有效地提升微積分理論課程的學習效果。求取極限的方法是有許多的，各種求解方法都是因題而異，可以靈活變通使用[1]。

2.微積分中求極限的常用方法

⑴利用極限定義求極限

例題1：求證■ex=0

證明：|f（x）-A|=|ex-0|=ex

所以？坌ε（0<ε<1），若要使|f（x）-A|<ε，只需要保證ex<ε或者x

設正數x=-lnε，則只有x<-X時才有lex-okε，

所以■ex=0。

注意事項：如果x→+∞時，函數f（x）=ex的極限是不存在的，根據指數函數的相應圖像可知其極限值是趨向于正無窮大。

⑵利用極限運算法則

①無窮小運算法則

無窮小量屬于一種具體的極限定義。在相應極限計算的過程當中，可以靈活地運用無窮小量的有關性質，無窮小和無窮大的相互關系，與無窮小量有關的等價變換的極限計算方法從而達到事半功倍的求取效果。然而無窮小的等價變換在極限求取過程中是最容易出現錯誤的方法。這種方法的主要難點在于無法弄明白替換的原理與對象，同時對無窮小相應的等價概念含糊不清，因此需要注意等價變換是存在著極限條件的[2]。

例題2：求證■■·cosx

證明：由于■■=0，|cosx|≤1

因此，根據無窮小量的性質，有界變量和無窮小量的乘積仍然是無窮小量，

所以■■·cosx=0。

②極限四則運算法則

使用極限四則運算法則的基本條件是充分非必要的。所以在使用極限四則運算法則求取極限過程時，需要逐個對所給出的函數進行有效的驗證。觀察其能否符合極限四則運算法則的使用條件，如果可以符合只需要將x0代替函數中的x就可以完成了； 如果不能夠滿足條件的則無法對其直接使用。比如對于分式函數直接進行代入處理之后假如分母是零，則代入不能體現出實際意義，需要對函數進行合適有效的因式分解、通分、分子分母有理化、分子分母同除最高次冪與三角函數等各種恒等變換處理方法，令其滿足使用條件之后，再使用極限四則運算法則。

推論：在分式函數的極限計算過程中，■■，如果有g（x0）≠0，■■=■；如果有g（x0）=0且f（x0）≠0，則極限是無窮大；如果有g（x0）=0、f（x0）=0，可以消去零因子x-x0。

⑶兩個重要極限

⑷洛必達法則

洛必達法則屬于一種非常有效可行的極限計算方法，其能夠求出■、■等類型的未定式，而0·∞、1∞、∞0、∞-∞、00等類型的未定式可以進行代數恒等變化或者取對數等方法轉化成為■、■類型的未定式。

即使洛必達法則是非常有效的極限計算方法，然而并非是萬能的求極限方法。

在運用洛必達法則求極限時需要注意以下幾點：

①lim■應當為■或者■類型的未定式。

②若lim■不存在，則無法判斷lim■不存在，只可以使用其它方法來求取極限。

③在極限計算過程中需要及時地簡化極限后部分的分式與檢查能否滿足要求的未定式，如果不能滿足則不能使用洛必達法則，否則會出現得到結果[3]。

④若lim■存在時，應當分別對式子的分子分母求導再求極限。

3.結束語

對于極限的求取方法，除了上文所提到的各種常用方法之外還存在其它的計算方法。比如使用數列的前n項和公式、夾逼定理、拆項或者添項、定積分的定義概念、使用收斂級數求取極限、使用泰勒展式求取極限、使用左右極限和極限關系求取分段函數在分段點處相應的極限等各種具體方法。函數極限一般都會涉及到各個方面的理論知識，在求取極限的過程中需要進行全面的考慮，首先需要分析已給出的函數極限的具體類型，再根據具體的有效條件考慮需要使用的求解方法。各種形式的極限計算方法可以靈活變通使用，固定一種方法不一定能夠得到各種極限的求取結果，有時需要考慮對各種極限方法進行綜合應用。

參考文獻：

[1]韓漢鵬，馬少軍，徐光輝.大學數學微積分[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]田軍輝.淺談高等數學中幾種常用的求極限的方法[J].科技信息，2009.

[3]同濟大學數學教研室.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2005.

作者簡介：

楊盛用（1965.2-），男，河南封丘人，副教授，本科學士學位，研究方向：數理應用。