淺析高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的辯證法思想

【摘要】高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含了十分深刻的唯物辯證法思想，用辯證法思想來指導(dǎo)高數(shù)教學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維方式和分析問題解決問題的能力。所以高數(shù)教師掌握哲學(xué)原理并將其應(yīng)用于教學(xué)是十分必要的。本文就哲學(xué)量變到質(zhì)變，一般到特殊，具體到抽象等方面，討論了辯證法思想在高數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 辯證法 函數(shù)

【基金項(xiàng)目】川油氣科（SKB13-08）。

【中圖分類號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）11-0149-01

微積分為主要內(nèi)容高等數(shù)學(xué)是非數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的公共基礎(chǔ)課。不僅對(duì)學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)和思維素質(zhì)的培養(yǎng)起著重要的作用，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象歸納能力、創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)新能力有著重要的意義。但絕大多數(shù)學(xué)生面對(duì)高等數(shù)學(xué)里抽象繁多的概念理論，計(jì)算的復(fù)雜性加上授課時(shí)間短等特點(diǎn)而產(chǎn)生厭學(xué)頭疼情緒。如何幫助學(xué)生學(xué)好這門課程，是所有工科數(shù)學(xué)老師面臨的共同難題。

偉大的思想家、哲學(xué)家恩格斯說過：“要想表示事物運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、形成和發(fā)展過程，唯一可以實(shí)現(xiàn)或達(dá)到目的的只有微積分。”唯物辯證法是揭示事物本質(zhì)矛盾的方法，是探求真理與知識(shí)的重要途徑。尤其是辯證法的方法論指導(dǎo)我們要用辯證的思維去學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，會(huì)讓原本枯燥無味理論知識(shí)變得具體生動(dòng)有趣，從而有利于提高我們學(xué)生自身的觀察能力、思維能力、推理能力和創(chuàng)新能力；增強(qiáng)分析問題解決問題的能力。本文就辯證法理論聯(lián)系實(shí)際，一般到特殊、具體到抽象，量變到質(zhì)變等方面，討論辯證法思想在高數(shù)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用。

一、理論聯(lián)系實(shí)際

馬克思唯物主義講究理論聯(lián)系實(shí)際，只做不想或只想不做是行不通的。同樣，在高數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們也必須要學(xué)和用聯(lián)系起來，這樣才會(huì)使這門課程的學(xué)習(xí)生動(dòng)活潑，饒有興趣。微積分原本來源于實(shí)際生活。極限思想在圓周率，曲邊三角形等近似計(jì)算中就有所體現(xiàn)，而導(dǎo)數(shù)概念則包含了物理和幾何背景，是人們?cè)趯?shí)際中提出問題，理論上解決問題，最后把結(jié)果推廣到各個(gè)領(lǐng)域加以運(yùn)用。可以說微積分知識(shí)成就了各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展和完善。因此在高數(shù)學(xué)習(xí)中，一定要理論聯(lián)系實(shí)際，只有這樣才能學(xué)有所獲，學(xué)有所用。如果將理論與實(shí)際應(yīng)用脫離，學(xué)起來不但顯得枯燥無味，興趣黯然，而且不會(huì)領(lǐng)會(huì)其精神，更談不上創(chuàng)新。

二、一般到特殊，具體到抽象

辯證法的認(rèn)識(shí)論說明了人們認(rèn)識(shí)事物的一個(gè)簡單原理，即一般到特殊，具體到抽象，而大學(xué)高數(shù)的學(xué)習(xí)恰好符合這一原則。例如，由以前的數(shù)引導(dǎo)到符號(hào)，即變量的名稱；由符號(hào)間的關(guān)系引導(dǎo)到函數(shù)，即符號(hào)所代表的對(duì)象之間的關(guān)系。這就把同學(xué)們的理解力從以前的數(shù)推進(jìn)到變量、從描述推進(jìn)到證明、從具體情形推進(jìn)到一般方程，開始領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)的威力。在此過程中，高等數(shù)學(xué)首先就幫助學(xué)生發(fā)展了函數(shù)概念——變量間關(guān)系的表述方式。學(xué)習(xí)微積分，是從簡到繁，從具體到抽象來講解的。先介紹一元函數(shù)微積分，然后二、三元函數(shù)微積分，最后將其推廣到多元函數(shù)的情形。如果低維的情形了解掌握了，那么一般有限維的情形也就容易了。回過頭來當(dāng)你縱覽這些知識(shí)時(shí)，不會(huì)感到陌生，相反會(huì)讓你更加深刻地領(lǐng)會(huì)到概念的實(shí)質(zhì)其實(shí)都是一樣的，只是細(xì)節(jié)少許有差別而已，由此可以做到舉一反三了。

三、現(xiàn)象與本質(zhì)，偶然與必然

透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在高數(shù)的學(xué)習(xí)中這樣的例子比比皆是。一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微恰恰說明了這點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的，是關(guān)于函數(shù)變化率的問題；而微分是用函數(shù)變化率的線性主部來定義的，用于近似計(jì)算。兩問題出發(fā)點(diǎn)雖然不同，但從側(cè)面揭示了同一問題的本質(zhì)特征。因此對(duì)一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微是等價(jià)的。又如牛頓-萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式研究的是完全不同形式的積分，但如果仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)反映都是區(qū)域上積分與其邊界上積分的相等的問題，其本質(zhì)是相同，只不過不同的幾何形式對(duì)應(yīng)的表達(dá)式形式不同而已。如果明白了這點(diǎn)，對(duì)于各種各樣的積分公式就不會(huì)陌生了。

四、運(yùn)動(dòng)、發(fā)展與聯(lián)系

唯物辯證法認(rèn)為世界上的萬事萬物都處于運(yùn)動(dòng)變化的過程中，沒有絕對(duì)的“靜止”。而微積分恰好處理的是“運(yùn)動(dòng)”著的量——變量，即函數(shù)，盡管也有“靜止”的量，如常函數(shù)，常數(shù)列，不過這只是特例，屬個(gè)別現(xiàn)象。而其主要內(nèi)容則是函數(shù)概念中的因變量、之間變量和自變量之間的關(guān)系。無窮小量是“運(yùn)動(dòng)著”的0，無窮大量是運(yùn)動(dòng)過程中的越來越大。此外，更為重要的是，整個(gè)世界是普遍聯(lián)系的一個(gè)整體，任何事物都不是孤立存在的，這就要求我們深挖變量之間的關(guān)系，而函數(shù)概念卻深刻的反應(yīng)了變量之間的這種依存關(guān)系。極限概念描述了一個(gè)變量的變化引起的另一個(gè)變量改變的變化趨勢，又如，數(shù)列極限的“ε-N”定義中的ε，就是變量與常量的統(tǒng)一。連續(xù)性、可導(dǎo)性則說明了變量與改變量之間的變化關(guān)系。又如微分中值定理與積分中值定理，表面上看公式形式不同，一個(gè)涉及到導(dǎo)數(shù)，一個(gè)涉及到積分，但仔細(xì)分析，就可發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)定理是可通過牛頓-萊布尼茨公式建立橋梁可以相互轉(zhuǎn)化，是聯(lián)系的而不是孤立的。總之，運(yùn)動(dòng)聯(lián)系思想貫穿于高數(shù)的整個(gè)學(xué)習(xí)之中，理解了這點(diǎn)就不難領(lǐng)會(huì)微積分為何要討論這些內(nèi)容了。

五、量變到質(zhì)變

唯物辯證法認(rèn)為，任何事物都具有質(zhì)和量兩中基本狀態(tài)。質(zhì)具有內(nèi)在性，而量具外在性。任何事物的發(fā)展變化不可能沒有量變，也不可能沒有質(zhì)變，有區(qū)別有聯(lián)系，都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體。外在量的變化積累到一定程度必然引起內(nèi)在質(zhì)的變化，質(zhì)的變化是事物本質(zhì)的變化。在高數(shù)學(xué)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)概念的建立以及定積分概念的建立，就充分反映了這種近似向精確轉(zhuǎn)化的典型方式；又如定積分定義的基本原型是曲邊梯形的面積，求曲邊梯形面積采用微元法，而微元法采用分割、近似、求極限的過程，其基本思想也是先近似再精確，借助于極限方法從有限轉(zhuǎn)化為無限，從量變過渡到質(zhì)變。閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)討論也是一個(gè)典型的例子。函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)并沒有什么特殊之處，但當(dāng)它在某一閉區(qū)間上每一點(diǎn)連續(xù)時(shí)，函數(shù)就具備了很多完美性質(zhì)，如最值定理，介值定理，零點(diǎn)定理以及一致連續(xù)性等等，而這些性質(zhì)在整個(gè)實(shí)數(shù)理論中占據(jù)重要地位，也為后續(xù)研究打下基礎(chǔ)。又如收斂數(shù)列極限中，隨著的無限增大，數(shù)列的項(xiàng)無限接近于某一確定的數(shù)，當(dāng)有項(xiàng)變到無項(xiàng)時(shí)，這種量的變化最終引起了質(zhì)的變化，將變量變成了唯一常量。可見只有當(dāng)量積累到一定程度才能發(fā)生質(zhì)的變化。

六、結(jié)語

總之，高等數(shù)學(xué)內(nèi)部處處蘊(yùn)含著辯證思想，辯證法觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)成果的推動(dòng)下不斷進(jìn)步。為培養(yǎng)出新型復(fù)合性創(chuàng)新人才，數(shù)學(xué)老師應(yīng)將辯證法思維融入數(shù)學(xué)，使學(xué)生掌握完整系統(tǒng)的知識(shí)，有助于引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐，使抽象枯燥的數(shù)學(xué)變得具體生動(dòng)。

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