逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

2013-12-31 00:00:00朱宏清

課程教育研究 2013年11期

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）11-0132-01

在數(shù)學(xué)解題或證題中，當(dāng)從正面不易或無(wú)法求得解時(shí)，逆向思維便成為一種合理的思維方法，這里所說(shuō)的逆向思維是指排除法和反證法兩種?，F(xiàn)就這兩種方法介紹如下：

一、排除法

這種方法是先考察結(jié)果的對(duì)立面，把不符合條件的求出來(lái)，然后再?gòu)目傮w中排除（淘汰）那些不符合條件的，最后使問(wèn)題得解。

例1：如果二次函數(shù)的y=mx2+（m-3）x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍。

分析：若從正面求解，即正向思維必須分別就“兩交點(diǎn)均在原點(diǎn)右側(cè)”，“一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)”等情況一一求解，這樣解答雖可行，但繁瑣。為此，我們逆向思維，即從反面思考，用排除法求解。

解：當(dāng)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)均在原點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，由一元二次方程有兩非正實(shí)數(shù)根的條件得

△=（m-3）2-4m≥0■<0■>0 解得m≥9或m≤1m<0或m>3m>0

綜合得m≥9，其對(duì)立面m<9。因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，所以還必須△≥0，m≠0。因此，函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)的條件是m≤1且m≠0。

例2：若三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)a的范圍。

分析：正向思維因情況復(fù)雜，不易得到結(jié)果，注意到“三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解”的對(duì)立面是“三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)解”，于是，從全體實(shí)數(shù)中排除三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)a的范圍，便為本題所求。

解：（4a）2-4（-4a+3）<0（a-1）2-4a<04a2-4（-2a）<0 得到-■

當(dāng)a滿(mǎn)足上式時(shí)，三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)解。因此當(dāng)三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，a的范圍是：a≤-■或a≥-1。

二、反證法

即命題結(jié)論的反面不成立，而間接證原命題成立的一種間接證法。若結(jié)論的反面只有一種情況，只要否定這種情況，就足以證明元結(jié)論的正確性，這種反證法叫作歸謬法。如果待證的命題的結(jié)論反面有多種情況，那么就要把所有這些反面情況全面例舉出來(lái)，一一加以否定之后，才能肯定結(jié)論是正確的。這種反證法叫作窮舉法。

例3 ：已知a、b、c、d都是有理數(shù)，■、■是無(wú)理數(shù)，且a+■=c+■。

求證：a=c，b=d。

證明：假設(shè)a≠c令a=c+λ（λ≠0且為有理數(shù)），則λ■=■。

平方得■=■即■為有理數(shù)，與題設(shè)矛盾。

∴a=c從而b=d

例4：已知：△ABC和△A′BC有公共邊BC，且A′B+A′C>AB+AC。

求證：A′點(diǎn)一定在△ABC的外部。

證明：若A′不在△ABC的外部，就有兩種可能情況：

①假設(shè)A′在△ABC的AC邊上（圖1）

則AB+AA′>A′B，

即AB+AC>A′B+A′C。這與已知條件矛盾，故（1）不成立，同理，A′也不能在BC邊上。

②假設(shè)A′在△ABC的內(nèi)部。我們延長(zhǎng)BA′交于A(yíng)C于D（圖2）