數(shù)學(xué)歸納法的再認(rèn)識(shí)

摘 要： 本文試圖通過第一、第二數(shù)學(xué)歸納法的邏輯推理證明過程，指出數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)和邏輯原理，并通過各種典型的例子對數(shù)學(xué)歸納法歸納推理的方法和技巧問題進(jìn)行了探討和剖析.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)歸納法 添項(xiàng)法 裂項(xiàng)法

定理1：（第一數(shù)學(xué)歸納法）已知一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P（n），如果

（i）對于數(shù)1它是正確的，即P（1）真.

（ii）當(dāng)假定對自然數(shù)k，P（k）真時(shí)，能夠證明P（k+1）也真，那么命題P（n）對所有的自然數(shù)n都為真.

定理2：（第二數(shù)學(xué)歸納法）設(shè)P（n）是一個(gè)含有自然數(shù)n的命題，如果

（1）P（n）當(dāng)n=1時(shí)成立；

（2）在P（m）對于所有適合1≤m≤k的自然數(shù)m成立的假定下，可以證明P（k+1）成立.

那么，P（n）對任意自然數(shù)n都成立.

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種重要而獨(dú)特的證明方法，對與自然數(shù)n有關(guān)的命題的證明一般是行之有效的.下面結(jié)合題型實(shí)例給出方法和技巧，同時(shí)體現(xiàn)其應(yīng)用.

一、添項(xiàng)法

如何添項(xiàng)，添項(xiàng)后怎么處理，是證明恒等式和不等式經(jīng)常遇到的問題之一.在使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的過程中添項(xiàng)的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)式子形成的規(guī)律，然后利用歸納假設(shè)推證出所需的式子.