整體思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要： 整體思想是初中數(shù)學(xué)中的一種重要思想。本文從五個(gè)方面對(duì)整體思想在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的常見(jiàn)應(yīng)用舉例分析，使學(xué)生進(jìn)一步感受、理解和掌握整體思想的解題技巧，提高解題能力.

關(guān)鍵詞： 整體思想 初中數(shù)學(xué) 應(yīng)用

整體思想是初中數(shù)學(xué)中的一種重要思想，貫穿于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)階段，是解決好數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要策略.

所謂整體思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題方法.整體思想涉及的形式較多，這里就通過(guò)整體思想在初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的幾種常見(jiàn)應(yīng)用方法加以舉例分析，讓我們進(jìn)一步感受、理解和掌握整體思想的解題技巧，以提高自己的解題能力.

一、整體思想在求代數(shù)式的值中的應(yīng)用

例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.

分析：此題若先從已知條件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代數(shù)式求解，盡管理論上是正確的，但解答相當(dāng)麻煩且很困難.若注意到所求代數(shù)式與方程的關(guān)系，將a-a-1=0轉(zhuǎn)化為a-a=1，再把a(bǔ)-a看做一個(gè)整體，用整體思想進(jìn)行分析求解，則解題會(huì)變得簡(jiǎn)單、容易.

解：∵a-a-1=0

∴a-a=1

∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012

=a（a+a）+（a+a）-a+2012

=（a+a）（a+1）-a+2012

=1×（a+1）-a+2012

=2013

例2：已知x=2時(shí)，ax+bx+cx-8=10.求當(dāng)x=-2時(shí)，代數(shù)式ax+bx+cx-8的值.

分析：由于ax+bx+cx中的x的指數(shù)均為奇數(shù)，故當(dāng)x=2和x=-2時(shí)，它的值恰好互為相反數(shù)，從而可用整體代入的方法求得代數(shù)式的值.

解：當(dāng)x=2時(shí)，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①

當(dāng)x=-2時(shí)，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.

將①式整體代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.

故當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式ax+bx+cx-8的值為-26.

二、整體思想在因式分解中的應(yīng)用

例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.

分析：對(duì)于這類題目，學(xué)生很容易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展開(kāi)后得到a+4a+10a+12a+9，要把這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，就必須恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆項(xiàng)和乘法公式，這是何等的困難.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)式子中前一項(xiàng)的兩個(gè)因式中都含有式子a+2a，如果我們把a(bǔ)+2a看成一個(gè)整體，展開(kāi)后就可以得到一個(gè)關(guān)于a+2a的二次三項(xiàng)式，問(wèn)題就迎刃而解了.

解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1

=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1

=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1

=（a+2a）+6（a+2a）+9

=（a+2a+3）

三、整體思想在解方程或方程組中的應(yīng)用

例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.

分析：如果我們?nèi)ダㄌ?hào)，整理后得到的將是關(guān)于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解這個(gè)方程難度很大.這時(shí)我們可以將x-1視為一個(gè)整體，設(shè)x-1=y，運(yùn)用整體思想來(lái)分析，就可以化難為易.

解：設(shè)x-1=y，則原方程可化為

y-5y+4=0

解得y=1，y=4.

當(dāng)y=1時(shí)，x-1=1，解得x=±；

當(dāng)Y=4時(shí)，x-1=4，解得x=±.

∴原方程的解為x=，x=-，x=，x=-.

例5：解方程組：

x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③

分析：解三元一次方程組的基本思路是消元，本題完全可以通過(guò)帶入消元法或加減消元法將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組來(lái)解，但這樣比較麻煩.如果我們把三個(gè)式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一個(gè)整體分別與方程組中的三個(gè)式子相減，就可以求得方程組的解.

解：①+②+③，得

2（x+y+z）=12 ④

④-①，得z=9

④-②，得x=8

④-③，得y=7

∴原方程組的解是x=8y=7z=9.

四、整體思想在解應(yīng)用題中的應(yīng)用

例6：若買(mǎi)鉛筆4支，日記本3本，圓珠筆2支，共需10元；若買(mǎi)鉛筆9支，日記本7本，圓珠筆5支，共需25元，則購(gòu)買(mǎi)鉛筆、日記本、圓珠筆各一樣共需多少元？

分析：本題是要求購(gòu)買(mǎi)鉛筆、日記本、圓珠筆各一樣共需多少元.如果設(shè)鉛筆每支x元，日記本每本y元，圓珠筆每支z元，需要有三個(gè)等量關(guān)系，才能列出三個(gè)方程分別求出x，y，z的值，但本應(yīng)用題只有兩個(gè)等量關(guān)系，只能列出兩個(gè)方程，這就需要應(yīng)用整體思想，直接求出的值.

解：設(shè)鉛筆每支x元，日記本每本y元，圓珠筆每支z元，依題意得：

4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②

②-①，得5x+4y+3z=15 ③

③-①，得x+y+z=5.

答：購(gòu)買(mǎi)鉛筆、日記本、圓珠筆各一樣共需5元.

五、整體思想在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

例6：在如圖所示的星形圖中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.

分析：顯然，我們無(wú)法分別求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度數(shù)，但仔細(xì)審題后可以發(fā)現(xiàn)，題目中并不是分別求出這五個(gè)角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”這一整體的值，因此我們可以利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，把這些角集中到一個(gè)三角形內(nèi)，再利用三角形的內(nèi)角和定理，就可以使問(wèn)題得以解決.

解：∠AMN，∠ANM分別是△MCE和△NBD的一個(gè)外角.

∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.

在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

通過(guò)舉例，我們可以看出，整體思想在初中數(shù)學(xué)中的作用及重要性.在解答某些數(shù)學(xué)題時(shí)，若能用整體思想去考慮，把整體思想滲透到解題中去，就能做到有的放矢，提高數(shù)學(xué)思維能力及數(shù)學(xué)解題能力.