“銳角三角函數的簡單應用”的教學實錄及反思

“銳角三角函數的簡單應用”是蘇科版教材第七章第六節的內容，它是在學生掌握了銳角三角函數的概念、特殊角的三角函數值和解直角三角形的基礎上展開的一節應用，是解決生活中實際問題的需要，同時也是學生深刻理解銳角三角函數知識的需要.研究銳角三角函數的應用，其目的是讓學生用所學知識解決實際生活中的問題，感受生活與數學的關系，培養學生學習數學的興趣，以及應用數學的意識與能力.這節課的學習不僅是對已學知識的綜合應用和深化，而且是培養學生理性思維和創新思維的有效途徑.

同時，在研究銳角三角函數的簡單應用時，需要學生對圖形結構相互關系進行觀察和分析，對圖形整體或部分進行必要的變換.有了前面的知識做鋪墊，學生已經建立了各種解直角三角形的知識儲備和一定的推理能力基礎，有能力采用直觀與理性相結合的方式學習本節內容.

一、教學實錄

上課開始，屏幕上以動畫形式播放一個氣球在天空停留，一學生站在A點處觀測氣球，測得仰角為30°，然后他向著氣球的方向前進了100m，此時小明再次觀測氣球，仰角為45°，若小明的眼睛離地面1.6m，小明如何計算氣球的高度呢？（精確到0.1m）

教師與學生一起畫出草圖，將實際問題轉化為數學模型，學生一起看圖，逐一說出問題中的已知量與未知量.

師：要計算CD，可以利用Rt△CBE和Rt△CAE，先找出BE、CE與已知量的關系？

生：可以設CE長為xm，則在Rt△CBE中，由“等角對等邊”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，然后在Rt△CAE中，利用tan30°=，算出x+1.6的值，即為旗桿的高度.

師：根據上述方程，大家以最快的速度解這個方程，不會的相互幫忙一下.

點評：以上的分析過程簡潔明了，根據30°角的正切值列出方程也很容易理解，但是具體在解這個方程的過程中，學生卻遇到了很大的麻煩。有很多學生不會解決此類方程，因為方程中x的系數帶有根號，而且要先移項，再合并同類項，最后還要經歷分母有理化的過程，分母有理化本身是書本上的選修內容，中間還滲透了平方差公式，對于一些對平方差公式不熟練的學生而言，這是解此類方程的一個難點.

教師邊引導學生解方程的一般步驟，邊引導學生找出分母的有理化因式，從而保證結果的最簡，師生一起努力共同完成解答過程.

生：解：設CE長為xm，在Rt△CBE中，

∵∠CEB=90°，∠CBE=45°，

∴∠CBE=∠BCE=45°，

由“等角對等邊”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，

在Rt△CAE中，∠CEA=90°，tan∠CAE=，

∴tan30°=，

即=

∴3x=100+x

∴（3-）x=100

∴x===50（+1）

∴CD=CE+DE=50（+1）+1.6≈138.2m.

教師點評：這一種方案是先在Rt△CBE中設未知數，再根據“邊角關系”用的代數式表示BE，從而表示AE，最后在Rt△ACE中利用tan30°的函數值列出方程，從而達到解決問題的目的.除了用以上方法解決問題外，同學們觀察一下圖形的特點，能否找出已知線段與未知線段之間存在的相等關系？

生：AE-BE=AB.

師：能否根據這一相等關系列方程呢？大家先獨立研究，然后把自己的研究成果與同組同學交流.

學生開始探究，教師巡視.巡視過程中發現大部分同學能利用第一種方案中的兩個直角三角形展開思維，也有的同學在“AE-BE=AB”的基礎上重新設未知數，結果得出的方程與第一種方案一致.

師：請想出不同方案的同學把你的研究成果寫在黑板上，其他小組進行補充.

全體同學一起努力，最后得到如下結果：

設CE=xm，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，

∵tan30°=，∴AE==x.

在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∵tan45°=，∴BE==x，由AE-BE=AB可知，x-x=100，∴（-1）x=100，∴x===50（+1）.

教師總結：以上給出了兩種方案，從解題的技巧和解題方法來看，第一種方案利用小Rt△BEC的邊角關系設未知數，再由大Rt△AEC的邊角關系列方程，由內而外地展開大家很容易理解，但是得出方程后解此方程有一定的困難.第二種方案由兩個直角三角形同時進行，利用邊角關系表示AE，BE，再根據“AE-BE=AB”直接列出方程，而且這個方程比第一種方案中的方程容易解，由此評價方案二比較可行，但是方案二中表示AE，BE時必須注意方式方法.

師：將問題中的特殊角改為27°與40°，其他數據不變，求氣球的高度，選擇一種你認為比較合適的方案，自己先試一試.

（在巡視的過程中，選兩位用不同方法解答完成的學生上黑板板演.）

生甲：設CE=xm，

在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∵tan40°=，∴BE==.

在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∵tan27°=，∴AE==.

∵AE-BE=100，∴-=100.

∴tan40°x-tan27°x=100·tan27°·tan40°.

∴x=.

生乙：設CE=xm，

在Rt△BEC中，∠BEC=90°，

∵tan40°=，∴BE==.

在Rt△AEC中，∠AEC=90°，

∵tan27°=，∴tan27°=.

∴100·tan27°+=x.

∴100·tan27°·tan40°+tan27°·x=tan40°·x.

∴x=.

教師與學生一起點評，生甲的方案是建立在“AE-BE=100”的基礎上進行的，方程比較簡單，解題的過程簡潔明了.生乙的方案是由內而外展開，由小Rt△BEC內的邊角關系設未知數，由大Rt△AEC的邊角關系列方程，所列方程稍微有點復雜，但是只要細心，照樣可以解出答案.

師：大家有沒有發現這兩個直角三角形有著一條公共的邊呢？

生：有，是線段CE.

師：能否根據公共邊相等列方程呢？此時設哪條線段為未知數比較合適呢？

生：設BE=xm，則AE=（100+x）m，在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∵tan40°=，∴CE=BE·tan40°=x·tan40°.

在Rt△AEC中，∠AEC=90°，

∵tan27°=，

∴CE=AE·tan27°=（100+x）·tan27°，

∴x·tan40°=（100+x）·tan27°.

解得x=.

∴CE=·tan40°=.

最后求出氣球的高度即可.

教師總結：本節課我們主要研究了銳角三角函數的簡單應用，學會了從各種不同的角度分析問題，抓住問題的突破口，步步逼近.今天我們一起探究了解決銳角三角函數的三種方案：方案一，由內而外，利用三角函數列方程求解；方案二，根據兩線段之差等于已知線段列方程求解；方案三，抓住兩個三角形的公共邊列方程.這三種方案各有千秋，平時解題時我們要具體問題具體對待.

二、總評

1.本節課最大的“亮點”：在數學教學中，教師有意識地引導學生自主探索，合作交流，注重培養學生理性思維的習慣和方法，求解過程不必統一，鼓勵多樣化的解題方法，培養學生的創新意識.

2.需要進一步思考的問題：學生在探究的過程中，圖形語言與數學符號語言相結合是重要的數學思想和數學方法，這一過程需要時間的保證，因此教學內容還需要精簡，教學語言還需要精練.