微分中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)思考

摘 要： 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是微積分課程的重要組成部分和微分學(xué)的核心內(nèi)容之一，同時(shí)它也是微積分課程教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題.本文就如何做好這部分的教學(xué)做了研究與探討.

關(guān)鍵詞： 微分中值定理 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 微積分課程教學(xué)

微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在微積分課程中具有重要的地位與作用.微分中值定理是聯(lián)系函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的橋梁，它是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)和前提.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是導(dǎo)數(shù)作用的具體體現(xiàn)，是利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題和最優(yōu)化理論應(yīng)用的基礎(chǔ).下面我就微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的相關(guān)教學(xué)問(wèn)題談?wù)勊伎?

一、微分中值定理的教學(xué)思考

微分中值定理是這章的開(kāi)頭部分，其作用和地位顯而易見(jiàn).這部分教學(xué)主要講清以下兩個(gè)問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題是要講清為什么要講這部分內(nèi)容，也就是其重要性.從教材內(nèi)容上看，前面我們已經(jīng)講解了導(dǎo)數(shù)及微分，讓學(xué)生明白了導(dǎo)數(shù)及微分的重要性，但沒(méi)有講解究竟如何應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，因此有必要進(jìn)一步加強(qiáng)研究導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，而微分中值定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論支撐，它是后面研究函數(shù)的極限、單調(diào)性、凹凸性、最值等的基礎(chǔ).從微積分產(chǎn)生的歷史來(lái)看，微積分的產(chǎn)生可以歸結(jié)為四大問(wèn)題，其中之一為函數(shù)的最值問(wèn)題，而解決函數(shù)最值問(wèn)題的理論前提和基礎(chǔ)就是微分中值定理.第二個(gè)問(wèn)題就是要講清羅爾定理、拉格朗日定理和柯西中值定理這三個(gè)定理內(nèi)容及相互間的聯(lián)系.這三個(gè)定理在條件和結(jié)論上都有很大的相似性，它們之間有很密切的內(nèi)在聯(lián)系.為了方便敘述，我們簡(jiǎn)單地羅列一下內(nèi)容.羅爾定理：如果函數(shù)f（x）滿足（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.拉格朗日定理：如果函數(shù)f（x）滿足（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.柯西中值定理：如果函數(shù)f（x）和F（x）滿足（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）對(duì)任一x∈（a，b），F(xiàn)′（x）≠0，那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f′（ξ）/F′（ξ）.從條件上看，三個(gè)定理都有閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)和開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)的共性條件.從結(jié)論上來(lái)看，它們都是通過(guò)導(dǎo)數(shù)聯(lián)系函數(shù)增量與自變量的關(guān)系.那么條件和結(jié)論如何聯(lián)系的呢？我們可以按照如下方式進(jìn)行分析.羅爾定理?xiàng)l件（1）表明f（x）對(duì)應(yīng)的曲線在閉區(qū)間[a，b]上是不間斷的，條件（2）表明曲線在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)光滑.條件（3）表明曲線在閉區(qū)間[a，b]上的平均變化率即[f（b）-f（a）]/（b-a）為0.結(jié)論表明f（x）對(duì)應(yīng)的曲線在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)有平行于兩端點(diǎn)連線的切線或者在某點(diǎn)的切線的斜率等于f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的平均變化率為0.拉格朗日中值定理?xiàng)l件與羅爾定理?xiàng)l件（1）（2）一樣，結(jié)論表明f（x）對(duì)應(yīng)的曲線在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)有平行于兩端點(diǎn)連線的切線或者在某點(diǎn)的切線的斜率等于f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的平均變化率為[f（b）-f（a）]/（b-a）.柯西中值定理與拉格朗日中值定理類似，只不過(guò)要通過(guò)其中兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系看出參數(shù)方程的形式而已.從條件和結(jié)論可以看出三個(gè)定理的密切相關(guān)性，也可以從定理的證明看出它們之間的關(guān)系.在講條件和結(jié)論關(guān)系時(shí)，要注意強(qiáng)調(diào)條件是結(jié)論成立的必要條件而非充分條件.

二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)思考

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的內(nèi)容豐富，在這里我們主要講羅比達(dá)法則、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值及最值等方面.

1.關(guān)于羅比達(dá)法則教學(xué)方法方面.我們要強(qiáng)調(diào)極限未定式的類型判別和轉(zhuǎn)換方法，同時(shí)強(qiáng)調(diào)該法則不是萬(wàn)能的和唯一的.極限未定式類型分為0/0，∞/∞，∞-∞，0·∞，1，∞，0等類型，其中0/0和∞/∞為基本類型，可以直接使用羅比達(dá)法則求極限，而其他幾種類型必須轉(zhuǎn)換為基本類型才能使用.其中∞-∞和0·∞類型既可以轉(zhuǎn)化為0/0型，又可以轉(zhuǎn)化成∞/∞型，這樣在計(jì)算極限時(shí)就要選擇轉(zhuǎn)化方向，其標(biāo)準(zhǔn)是通過(guò)求導(dǎo)后求極限變得更簡(jiǎn)單，易求出結(jié)果.最后三種類型屬于冪指函數(shù)類型，該類型可以通過(guò)取對(duì)數(shù)或?qū)懗鲋笖?shù)函數(shù)形式轉(zhuǎn)化成基本類型.同時(shí)要強(qiáng)調(diào)的是用羅比達(dá)法則求極限的前提和條件，即使可以使用該法則求極限也不一定是最簡(jiǎn)單的，只有和其他方法如等價(jià)無(wú)窮小替換法、四則運(yùn)算求極限方法結(jié)合起來(lái)才能更有效地解決求極限的問(wèn)題.

2.關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的教學(xué).函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本形態(tài)之一，也是學(xué)生比較熟悉的概念.在教學(xué)時(shí)，第一步，我們可以從高中簡(jiǎn)單的例子著手，讓學(xué)生回顧相關(guān)的內(nèi)容.第二步，設(shè)置一些復(fù)雜的例子，這些例子難以用高中的方法來(lái)解決，從而引出本節(jié)課的主題——用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性.第三步，通過(guò)觀察函數(shù)單調(diào)性的圖形特征，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，讓學(xué)生猜出判斷函數(shù)單調(diào)性的條件.第四步，通過(guò)單調(diào)性定義，聯(lián)系拉格朗日中值定理，給出嚴(yán)格證明.最后通過(guò)例題講解定理的應(yīng)用，說(shuō)明判斷函數(shù)單調(diào)性關(guān)鍵在于判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).同時(shí)強(qiáng)調(diào)，一階導(dǎo)數(shù)大于零（或小于零）只是函數(shù)單調(diào)增加（或減少）的充分而非必要條件.

3.關(guān)于函數(shù)的極值和最值的教學(xué).函數(shù)的極值和最值是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的最重要部分，它是利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的具體訓(xùn)練，也是最優(yōu)化理論的基礎(chǔ).在概念引入時(shí)可以設(shè)計(jì)從回顧單調(diào)性的定理或例題出發(fā)引出單調(diào)增加區(qū)間和單調(diào)減少區(qū)間的分界點(diǎn)，從而引出極值點(diǎn)的概念，進(jìn)一步可以引進(jìn)最值的概念.從引入的例子進(jìn)一步分析函數(shù)在何時(shí)達(dá)到極值，從引入例子的圖形很容易看出函數(shù)達(dá)到極值的條件，從而歸納出可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要和一階充分條件.由一階充分條件分析可以得出函數(shù)的二階充分條件，要注意的是二階充分條件是在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)不等于0就可保證函數(shù)的極值性.由求極值的方法立即可得出求最值的方法，從而為導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題提供方法.但在實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)f（x）往往不是現(xiàn)成的，需要通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題，得出函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，因此在課堂教學(xué)中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

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