學(xué)生“湊方程”現(xiàn)象的原因分析與對(duì)策

教學(xué)列方程解應(yīng)用題，我發(fā)現(xiàn)好幾位學(xué)生列出的方程都帶有逆向思維的成分。比如列方程解答下面各題：（1）王老師買了一些筆記本，每本筆記本的單價(jià)是6.5元，一共付了78元，王老師買了多少本？學(xué)生的答案是78÷x＝6.5。（2）《中華人民共和國國旗法》規(guī)定，國旗的長(zhǎng)是寬的1.5倍。一面國旗長(zhǎng)144厘米，寬應(yīng)是多少厘米？學(xué)生的答案是：144÷x＝1.5。

課堂上我曾提出過這樣的建議：在列方程解決實(shí)際問題時(shí)，我們一般按條件敘述的順序?qū)ふ业攘筷P(guān)系，再列方程。那么學(xué)生為什么喜歡列這樣的方程呢？帶著這個(gè)疑惑，我找了其中幾位同學(xué)進(jìn)行簡(jiǎn)單的交流。

師：我想了解一下，你們?cè)诹蟹匠虝r(shí)，都是怎么想的？

生：老師，您上課時(shí)不是說過，列方程時(shí)也可以這樣列的嗎？

師：這樣列方程本身沒有問題，但我想了解一下你們?yōu)槭裁床桓鶕?jù)單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)列成6.5x=78，而列成78÷x＝6.5？

生：我看到總價(jià)已經(jīng)告訴我們了，要求數(shù)量，肯定要用除法計(jì)算。但如果直接用總價(jià)除以單價(jià)等于數(shù)量，這樣就不符合列方程的要求，所以就列成78÷x＝6.5。

師：哦！我明白了，你哪里是列方程解應(yīng)用題，完全是“湊方程”啊！

接著我簡(jiǎn)要地分析了列方程的幾個(gè)步驟，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)“先找等量關(guān)系再列方程”的關(guān)鍵要求，并特別指出按照題目的敘述順序來找等量關(guān)系的思考方法，希望你們糾正先推理后湊方程的算術(shù)思維方式，認(rèn)真總結(jié)列方程解應(yīng)用題的思考方法。

學(xué)生們很禮貌地向老師表示感謝，離開了辦公室。辦公室同事卻饒有興趣地討論了起來。有的說，學(xué)生之所以列出這樣的方程，說明學(xué)生在建構(gòu)方程的過程中，原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（算術(shù)思路）起著巨大的慣性作用，阻礙著學(xué)生對(duì)方程思想方法的理解。當(dāng)遇到逆向問題時(shí)，學(xué)生會(huì)條件反射般地根據(jù)題目的已知和問題之間的數(shù)量關(guān)系來進(jìn)行逆向推理。有的說，列方程解應(yīng)用題的教學(xué)不適宜讓學(xué)生列不同的方程，因?yàn)槌说攘筷P(guān)系是按照題目敘述順序來列的外，其他方程都是需要逆向思維的，不利于學(xué)生鞏固剛剛建立的方程思想。還有的說，其實(shí)學(xué)生這樣列方程本身并沒有錯(cuò)，隨著學(xué)習(xí)的深入，特別是對(duì)于越來越復(fù)雜的問題，他們想用算術(shù)方法也用不起來，到時(shí)候就自然而然地會(huì)選擇列方程解答了，用不著費(fèi)力氣糾正的。

聽了同事們的討論，我沉思良久。我感覺到學(xué)生之所以喜歡列成那樣的方程，顯然是受教材上“還可以怎樣列方程”的影響。按照教材的編排意圖“還可以怎樣列方程”，“不僅有利于學(xué)生更完整地掌握列方程解決實(shí)際問題的方法，而且有利于學(xué)生體會(huì)列方程解應(yīng)用題的靈活性”。同時(shí)，教材分析也指出：“對(duì)不同的方程可以肯定，但不要求學(xué)生一題多解。”為什么不要求？我的理解是擔(dān)心學(xué)生的逆向思維對(duì)剛剛建立的方程思想產(chǎn)生不利影響。那我們的教學(xué)中是否真的可以回避“還可以怎樣列方程”？如果不能繞開，又該怎樣處理“還可以怎樣列方程”？這樣的要求對(duì)于方程思想的建構(gòu)有著怎樣的教學(xué)意義？看來，簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含著不簡(jiǎn)單的教學(xué)問題！下面談?wù)勎覍?duì)這一現(xiàn)象反思后的粗淺認(rèn)識(shí)。

一、多樣中尋找本質(zhì)，感悟方程思想方法的特點(diǎn)

學(xué)生為什么喜歡“湊方程”，固然與學(xué)生原有的算術(shù)思維慣性有關(guān)，但我們是否給了學(xué)生一個(gè)扭轉(zhuǎn)慣性的彈性空間也很重要。列方程的本質(zhì)就是建構(gòu)一個(gè)模型，然后利用模型來幫助我們解決問題。模型是什么呢？模型反映了數(shù)量間的等量關(guān)系。不管一個(gè)什么實(shí)際問題，都有相應(yīng)的等量關(guān)系，不同的人可能有不同的理解。比如，教材例7（蘇教版五年級(jí)下冊(cè)）提供的信息“小剛的成績(jī)比小軍的成績(jī)少0.06米”，有的人可能會(huì)認(rèn)為最基本的關(guān)系應(yīng)當(dāng)是小軍的成績(jī)-0.06=小剛的成績(jī)。也有人認(rèn)為是小軍的成績(jī)-小剛的成績(jī)=0.06米或者小剛的成績(jī)+0.06米=小軍的成績(jī)。這種差異是因?yàn)槊恳粋€(gè)人的思維方式不同而造成的。我們不可能要求所有學(xué)生都按照一個(gè)思維模式進(jìn)行，教學(xué)必須依賴學(xué)生自己主動(dòng)的變化來接納新的要求。從這個(gè)意義上講，“還可以怎樣列方程”體現(xiàn)了對(duì)不同學(xué)生的思維習(xí)慣的尊重，同時(shí)也為學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的概念形成提供經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)的空間。因此，我以為“還可以怎樣列方程”不僅不要回避，相反，應(yīng)主動(dòng)地讓學(xué)生呈現(xiàn)出來，以此來引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)深入開展，并在此過程中逐步感悟方程思想方法。

為了更好地幫助學(xué)生感受方程思想方法的特點(diǎn)，還可以進(jìn)行順逆問題的對(duì)比練習(xí)。比如出示：下面各組題你覺得哪一題適合用方程解答？

A1：商場(chǎng)銷售彩電，原價(jià)2000元，為回饋消費(fèi)者，每臺(tái)優(yōu)惠200元，現(xiàn)價(jià)多少元？

A2：商場(chǎng)銷售彩電，為回饋消費(fèi)者，每臺(tái)優(yōu)惠200元，現(xiàn)價(jià)銷售2000元，求原價(jià)多少元？

B1：白兔有200只，是黑兔的5倍，黑兔有多少只？

B2：白兔有200只，黑兔是白兔的5倍，黑兔有多少只？

C1：平行四邊形的底為200米，高為80米，它的面積是多少平方米？

C2：平行四邊形的底為200米，面積是16000平方米，求它的高是多少米？

這樣讓學(xué)生在具有順逆情境的實(shí)際問題的對(duì)比中，充分感悟到抓住等量關(guān)系對(duì)于解決逆向問題的簡(jiǎn)單方便，從而形成尋找最本質(zhì)數(shù)量關(guān)系的思想方法。

二、多樣中滲透靈活，豐富解決問題的策略意識(shí)

列方程解決問題的關(guān)鍵是找到問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系，把已知和未知更緊密地聯(lián)系在一起，看成地位相同的量共同參與運(yùn)算。這是與列式解答的算術(shù)思路截然不同的。但這并不是說列方程就不能進(jìn)行逆向思維，相反，因?yàn)槟嫦蛩季S的參與而使得方程呈現(xiàn)出多樣性。其實(shí)，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看，采用什么方法解決問題，不是以我們的主觀想法來決定的，而是要根據(jù)題目的特點(diǎn)和具體的情景來決定。解題的關(guān)鍵在于深入思考、弄清情景，情景才是決定我們采用何種解決問題的策略的唯一標(biāo)準(zhǔn)，而不應(yīng)該在于用方程還是用算術(shù)。在我看來，逆向思維、推理分析等思維能力的培養(yǎng)，依然是相當(dāng)重要的。人往往更傾向于按著正常的習(xí)慣思考問題，如此下去便容易使我們形成所謂的定向思維。這樣下去對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常不利的（這里強(qiáng)調(diào)的是思維固化），所以我們要重視適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)反向思考的方法。但重視逆向思維，并不是提倡算術(shù)方法，更不是鼓勵(lì)學(xué)生在列方程的過程中大量地使用逆向推理。重要的是為學(xué)生今后遇到復(fù)雜問題時(shí)在分析數(shù)量關(guān)系與選擇解決問題的策略上提供一些“直覺”經(jīng)驗(yàn)，可以幫助學(xué)生更快一些、更準(zhǔn)一些把握題目里的等量關(guān)系，從而列出更簡(jiǎn)單一點(diǎn)的方程。

站在這一角度，我們?cè)賮砜础斑€可以怎樣列方程”，除了突出數(shù)量間的本質(zhì)關(guān)系外，也要尊重學(xué)生尋找等量關(guān)系的不同思維模式（這里強(qiáng)調(diào)的是根據(jù)不同的等量關(guān)系模型列方程，與算術(shù)思路要作截然區(qū)分的）。為了更有效地增強(qiáng)學(xué)生找等量關(guān)系的能力，我認(rèn)為在教學(xué)列方程解決問題時(shí)可以適當(dāng)做一些數(shù)量關(guān)系的“舉一反三”訓(xùn)練，以幫助學(xué)生提高尋找和調(diào)整等量關(guān)系的能力，進(jìn)而增強(qiáng)列方程解決問題的策略意識(shí)。這樣的訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生更好地深入情境，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，而不至于陷入唯一的基本思路“絕境”上。如果學(xué)生具有靈活尋找等量關(guān)系的能力，那么我們就不用擔(dān)心學(xué)生會(huì)對(duì)以后的學(xué)習(xí)產(chǎn)生思維“混亂”了，相反，學(xué)生的思維會(huì)在一個(gè)更高的平臺(tái)上應(yīng)對(duì)自如。

通過“還可以怎樣列方程”的教學(xué)探討，我認(rèn)為列方程解決問題的教學(xué)需要有一個(gè)長(zhǎng)遠(yuǎn)的教學(xué)境界。我們不能僅僅滿足于學(xué)生形式上的“算法多樣化”，更要看到學(xué)生“多樣化算法”背后真實(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)。課堂上要努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)積極思考的問題情境，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷方程模型的建構(gòu)過程，經(jīng)歷自我學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)過程，并在此過程中深刻感悟方程思想方法，形成豐富的列方程解決問題的策略經(jīng)驗(yàn)。?