利用幾何畫板為學(xué)生的幾何直觀“保駕護航”

一、關(guān)于“幾何直觀”

在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中，新增了“幾何直觀”這個關(guān)鍵詞，引起了數(shù)學(xué)教育界的廣泛討論。在數(shù)學(xué)教育文獻(xiàn)中，認(rèn)為“直觀是直接從感覺的具體的對象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的、理想的狀態(tài)的能力”。克萊因認(rèn)為數(shù)學(xué)的直觀即是對概念、證明的直接把握。徐利治認(rèn)為，幾何直觀就是借助看到的或想到的集合圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。綜上所述，幾何直觀代表了一種從圖形出發(fā)發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的能力。

幾何直觀能力主要包括空間想象能力（如識圖、畫圖、制模能力），直觀洞察能力（對圖形位置、角度大小的判斷），用“圖形語言”來思考問題的能力（數(shù)形結(jié)合思想）。在小學(xué)幾何教學(xué)中更多的是關(guān)注實驗幾何、經(jīng)驗幾何和幾何直觀能力。通過學(xué)生的拼一拼、折一折、量一量等操作，要求學(xué)生憑借自己看得到的，經(jīng)過不完全歸納，得到一些數(shù)學(xué)結(jié)論。

依賴幾何直觀的“直觀型”課程成為數(shù)學(xué)課程設(shè)計的主流之一，我國新課程已經(jīng)把幾何直觀看做是貫穿數(shù)學(xué)課程的線索之一。新課標(biāo)中重點培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，是希望學(xué)生能夠憑借圖形的直觀性特點將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機結(jié)合起來，使抽象思維同形象思維結(jié)合起來，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，突破數(shù)學(xué)理解上的難點。

二、“幾何直觀”培養(yǎng)教學(xué)的困難

對幾何直觀能力的培養(yǎng)應(yīng)該滲透于小學(xué)階段各種不同類型的知識點的教學(xué)中，特別是在幾何圖形內(nèi)容的教學(xué)過程中更應(yīng)該著重突出。但在目前的幾何教學(xué)中，往往會遇到這些困難：1.學(xué)習(xí)內(nèi)容過于抽象，學(xué)生無法理解；2.學(xué)習(xí)結(jié)論已知，學(xué)生無學(xué)習(xí)興趣。

在歐式幾何中公理化地認(rèn)定點無大小，線無長短，面無大小，這些理想化的定義與學(xué)生已有的生活經(jīng)驗相沖突。很多學(xué)生認(rèn)為幾何比代數(shù)難學(xué)，原因就在于幾何比代數(shù)更難在生活中尋找到實體經(jīng)驗的支持，很大程度依賴于學(xué)生自身的空間想象能力和邏輯思維能力。但小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的起點，我們需要借助一定的具體表象，幫助學(xué)生將抽象的概念具體化。否則，過于抽象的幾何概念會造成學(xué)生學(xué)習(xí)上的挫敗感，挫敗感會阻礙學(xué)生對幾何圖形的興趣和探索，也就失去了培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的機會。

幾何概念是抽象的，但小學(xué)生一旦獲取了某個結(jié)論，學(xué)習(xí)探索也往往就到此為止，停留在“知其然，不知其所以然”的階段。正如一本懸疑小說提前知道了結(jié)局，那估計沒有幾個讀者會愿意再去讀作品了一樣。隨著學(xué)生接觸的信息量逐漸變大，學(xué)生會越來越早獲得課本上甚至課本外的知識結(jié)論，一旦已經(jīng)有了知識結(jié)論，就會自動省略探究過程，即使在教師的要求下進行一些實驗操作，也是抱著結(jié)論進行的可有可無的操作活動，甚至忽略了操作過程中一些不符合結(jié)論的情況，這樣也就失去培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的機會。

但這樣的情況會在日后的課堂教學(xué)中經(jīng)常呈現(xiàn)，筆者以《圓的認(rèn)識》一課為例，希望通過信息技術(shù)的引入，即幾何畫板的采用，對這類問題的解決有一定的啟發(fā)。

三、幾何畫板的引入

1．對圖形的理解幫助

如何讓學(xué)生體會“無數(shù)”呢？學(xué)生接觸過自然數(shù)的無窮性，但圖形中的無數(shù)在生活中是沒有實物支持的。在一個圓中，半徑有無數(shù)條，就是歸結(jié)為圓是由無數(shù)個點組成的。但凡是我們能看到的就是有限的，那么幾何畫板能做的就是比人工繪制更趨向于無限。

測量是很多數(shù)學(xué)結(jié)論獲取的基礎(chǔ)，但測量必定會出現(xiàn)誤差。這時幾何畫板的引入能幫助學(xué)生進行大量的數(shù)學(xué)實驗，初步幫助學(xué)生形成某種猜想或是驗證某個猜想。三角形內(nèi)角和、三邊關(guān)系等凡是涉及測量的數(shù)學(xué)實驗都可以引入幾何畫板，但即使是計算機，在數(shù)值精確的取舍上也會造成一些數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)不符合結(jié)論，這時更是鍛煉學(xué)生幾何直觀能力的機會。

隨著計算機的普及，完全可以讓學(xué)生利用幾何畫板進行大量的數(shù)學(xué)實驗，通過數(shù)據(jù)猜想數(shù)學(xué)結(jié)論，這樣對幾何直觀能力的培養(yǎng)會更加高效。

四、直觀背后的數(shù)學(xué)理性

直觀是前提，抽象是本質(zhì)，適度是關(guān)鍵。歐幾里得的《幾何原本》作為幾何領(lǐng)域的典范著作，卻是在古埃及、古巴比倫時期的“直觀幾何”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。數(shù)學(xué)其他分支的形成、發(fā)展也是如此。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進程，反映了人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程——直觀和邏輯之間相輔相成。事實上，存在于“直觀幾何”與“歐氏幾何”之間的“希臘初期的幾何”，已經(jīng)出現(xiàn)了演繹證明的邏輯成分。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過程，可以反映出人類對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程。

幾何直觀能力的培養(yǎng)最終是希望提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，能夠讓學(xué)生自己解決問題，甚至是教師未曾教學(xué)的內(nèi)容，這背后的數(shù)學(xué)理性才是每個數(shù)學(xué)老師追求的最高境界。?