數學模型思想及其教學策略初探

《數學課程標準》（2011年版）在“課程內容”中提出“發展學生的‘模型思想’”，并指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界的聯系的基本途徑。那么，到底什么是模型思想？小學數學教學中模型思想有著怎樣的教學意義？教學實踐中又該如何發展學生的模型思想？這些問題，引發了筆者的深入思考。

一、數學模型思想的意義及表征方式

數學模型是“針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表述出一種數學結構”，且應該是一種“借助于數學概念和符號刻畫出來某種系統的純關系結構”。數學模型思想，即是以數學概念和符號刻畫數學結構為內容的，在揚棄一切非本質屬性的同時，逐步抽象、提煉出數學結構的思維過程。研究表明，建立數學模型的過程一般分為三步：一是提出問題并用精確語言表達；二是分析數量關系并進行數學抽象；三是求解并解決實際問題。

從模型思想的概念及數學模型建立的過程來看，小學數學中許多知識的學習均體現了數學模型思想。筆者現以《加法的認識》為例，具體分析數學模型思想的意義及表征方式。

首先，加法的產生源于實際問題的解決。如下圖，用“2個方塊與3個方塊合成一個長方體”的問題情境：

其間，“2個”方塊和“3個”方塊分別作為兩個不相交的有限集合A和集合B中的元素，在合并成一個新的集合C（即集合A與集合B的并集）后，成為一個大長方體。這個過程，當我們用精確的數學語言來表達時，便產生了“2＋3＝5”這樣一個數學模型。顯然，“2＋3＝5”是有限集A（2個元素）和B（3個元素）合并成并集C（5個元素）的過程的抽象與提煉，是一種形式化的表達。而當有了“2＋3＝5”這樣一個模型來表達“‘2個’元素與‘3個’同類元素合并產生了‘5個元素’”的新形式之后，以下類似問題便同樣有了解決的依據及表達的形式。

（1）小軍扎了2朵小紅花，小英扎了3朵小紅花，兩人一共扎了幾朵小紅花？

（2）爸爸出差，坐火車用了2個小時，坐汽車用了3個小時，一共用了幾個小時？

（3）保安叔叔要用繩子捆扎廢品，扎舊報紙用了2米，扎硬紙板又用了3米，一共用了多少米的繩子？

……

二、數學模型思想的教學策略

在教學實踐中，數學模型無論是思維表征的過程，還是形式表征的歸納，均需要有以下兩個基本的教學過程作支持。

（一）從“境”到“型”，通過抽象歸納，感悟、理解數學模型結構化、簡約化的特征

“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界的聯系的基本途徑”，其過程中最基本的路徑是從現實生活或具體情境中抽象出數學問題或數學事實，然后用數學語言表示出數學問題中的數量關系或變化規律。這也是數學模型思想建立的第一個層次。實踐中，我們可以從以下兩個方面來引導學生去體驗。

綜上所述，我們不難發現，在從“境”中提煉出“型”的過程中，無論是思維表征，還是形式表征，學生思維的介入及其從隱性思維層面到顯性思維表達的活動設計，是幫助學生感悟、理解數學模型結構化、簡約化的必要條件。

（二）從“型”到“境”，通過演繹解構，深化理解數學模型包容性、應用性的特征

以數學模型的形成來看，從“境”到“型”的過程，更多是數學模型從思維模型狀態向形式模型狀態轉變的過程；而從“型”到“境”則是數學模型從形式模型狀態再次回到思維模型狀態，是幫助學生進一步積累模型經驗，從而提升數學模型的應用水平的過程。教學中，這樣的過程一般實現在兩個應用水平層次上。

2．數學模型的拓展性應用水平

總之，數學模型思想是數學學習的基本思想之一，它應該與“數感、符號感、空間觀念、統計觀念、運算能力及推理能力”等一起，需要一線教師在小學數學教學中進行適時適度的培養。?