“數學思想”是開啟數學解題的“金鑰匙”

摘 要： 數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果.常見的數學思想有以下幾種：化歸思想；數形結合思想；方程思想；分類討論思想.數學思想是數學的精髓.

關鍵詞： 數學思想 化歸 數形結合 方程 分類討論

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果.數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，它是解題的靈魂，是解題的金鑰匙.常見的數學思想有以下幾種。

一、化歸思想

《新課標》要求：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上.”學生學習數學的實質是：將生疏問題轉化熟悉問題的過程，教師要深刻挖掘新教學內容的量變因素，將學生要掌握的新知識，加工到使學生通過努力能夠接受的水平上，降低學生接觸新內容時的陌生度，避免因研究對象的變化而產生的心理障礙，這樣做可達到事半功倍的效果.在解決數學問題時，若對當前的問題感到困惑，則可運用化歸思想，把它進行變換，使之化簡，從而使問題得以解決.解下面方程的過程，就是把“復雜”化為“簡單”，把“未知”化為“已知”的過程.

例如：在學習解一元一次方程后，學習解二元一次方程組和解一元二次方程，師生可共同探究得到：解二元一次方程組，就是通過加減消元或代入消元的方法將二元一次轉化為一元一次方程，該轉化稱為“消元”；解一元二次方程就是，就是通過因式分解將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，該轉化稱為“降次”.學生只要理解、掌握解一元一次方程和因式分解方法，對解二元一次方程組和解一元二次方程的方法就容易理解和掌握.

（1）設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？

（3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進價銷×售量）

二、數形結合思想

利用“數形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡.數形結合思想和其他各種數學思想一樣，滲透在整個教學內容之中.如：①數軸的引入為七年級的學生形象地研究有理數，進而研究實數提供了工具.②“平面直角坐標系”這章中，明確了平面直角坐標系內的點與有序實數對之間的一一對應關系，并且研究了坐標符號與點的位置的關系及平面內兩點間的距離.③利用函數圖像直觀地解決一些實際問題，拓展了數形結合的教學.④動態問題是今后數學經常研究的問題，用函數解決一些簡單的動態問題是常用的方法.

“數無形時少直觀，形無數時難入微”，這是我國數學家華羅庚對數學結合思想的精辟論述.數形結合的思想是通過數形間的對應與互助來研究并解決問題的思想，是最基本的數學思想之一，應用范圍較廣泛，為解決實際問題提供了巧妙的思想方法.數形結合的思想方法，是研究數學問題的一個基本方法.深刻理解這一觀點，有利于提高發現問題、分析問題和解決問題的能力.

三、方程思想

把未知數看成已知數，讓代替未知數的字母和已知數一樣參加運算，這就是方程思想，列方程解實際問題就充分體現了這一思想.

例3：有一位牧師問一個男孩：“你們家兄弟有幾個？姊妹有幾個？”他回答：“我有幾個兄弟就有幾個姊妹.”同一個問題這位牧師又問男孩的姐姐，她回答說：“我的兄弟數是我姊妹數的2倍.”聰明的你知道他們家兄弟、姊妹各有幾個人嗎？

分析：把其中的一個未知量作為未知數，并用該未知數表示其它未知量，然后根據題中的數量關系，列出等式.

四、分類討論思想

數學分類討論思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想.在初中數學教學中使用分類討論的思想研究和解決問題，有助于讓學生發現解題思路和掌握技能技巧，做到舉一反三，觸類旁通；有助于培養學生學習數學的興趣；有助于學生數學思維的發展，為學生今后的學習奠定堅實的基礎.

以上幾種是最常見的數學思想，我們要善于把數學思想靈活應用于解題過程中，使之簡單化.總之，掌握了數學思想，就是掌握了數學的精髓；掌握了數學思想，就找到了開啟數學解題大門的金鑰匙.