數學思想在高中數學解題中的應用

摘 要： 在高中解題教學中，解題策略對學生來說至關重要.數學思想方法是數學解題的精髓.本文闡述了數學思想對高中數學教學的影響，在分析具體例題的基礎上，說明了數學思想在高中數學解題中的應用.

關鍵詞： 高中數學教學 數學思想 數學解題 應用

數學解題技巧是數學學習的重要組成部分.數學學科的內容繁雜，問題多種多樣，使得數學解題教學困難重重.“授之以魚，不如授之以漁”，題海戰術不是解決數學問題的有效方法，培養學生的數學思維，幫助學生掌握數學思想方法，才是數學解題教學的關鍵.有效的數學思維鍛煉方法能夠幫助學生更深層次地理解數學題目的關鍵點，當學生再次遇到相似的問題時，能夠做到以不變應萬變，從而取得事半功倍的教學效果.

1.數學思想對高中數學教學的影響

在人類認識事物的過程中，思維活動扮演了十分重要的角色.思維反映了事物的本質和事物之間存在的客觀規律，因此，一個人的思維能力直接影響其認知能力.具體到數學思維，指的是人類在學習數學的過程中，人腦認識數學規律的學習過程.學生在學習基本數學知識的基礎上，通過觀察，對不同的數學知識進行對比，在溫故知識的過程中不斷激發對數學的學習欲望，掌握特殊的數學思考方式，例如歸納演繹、聯想實驗等.因此，在數學學習過程中，數學思維能力的高低關系到學生是否能夠建立完善的知識網絡和知識系統.

首先，數學思維有利于開發學生的思維潛能，鍛煉學生思維的靈活性.數學思維主要包括思維敏捷性、深刻性和創造性等方面.經過系統的思維訓練，能夠激發學生的思維潛能，拓寬學生的數學學習思路，豐富學生的數學學習方式，改變學生按部就班的學習習慣，幫助學生開拓創新，在此基礎之上保證良好的數學學習效果.

其次，數學思維能夠開發學生的觀察能力.觀察是學生進行數學學習的最初步驟，人腦的任何思維活動都是從觀察開始的.人通過觀察認識事物，挖掘事物內在與外在的特點，從而認識事物的本質.而沒有經歷思考過程的觀察是盲目的，無法認識事物的本質.在數學學習過程中，數學思維能夠將數學觀察和理論知識統一起來，對事物進行數學處理，從而解決實際問題.因此，數學思維能夠開發學生的觀察能力，培養學生良好的觀察習慣，激發學生的學習興趣.

2.數學思想在高中數學解題中的應用

在數學學習過程中，我們經常用到的數學思想有哪些呢？教師在教學過程中應當如何開發學生的數學思維呢？筆者結合自身的教學經驗，談談高中數學解題中常用的數學思想.

2.1分類討論思想在數學解題中的應用

在高中解題中，很多學生會發現，有些數學問題看似簡單，但是隨著問題的逐漸展開，我們往往無法再以某種統一的方法解決這一問題，這種數學問題常常包含多種情況，需要學生具體情況具體分析，將一道題分為不同的情況，根據不同的方法進行解答，最后將結果集中起來，從而達到由難化簡、有整體化部分的目的，最終解決問題.這就是分類討論思想.

學生在運用分類討論思想解題時，需要注意以下幾點.首先，找出分類討論的關鍵點.數學題中往往隱含需要分類討論的啟發性條件，我們只有為分類討論找出足夠的理論依據，才能夠運用分類討論思想.例如，有些數學公式在不同的數學條件下有不同的公式定義形式，一些幾何問題由于圖形變化而導致結果不確定等.同時，在明確分類原因后，我們需要正確運用分類討論的方法；分類討論要做到不重復、不遺漏，一個很關鍵的因素是統一分類標準，濫用分類標準很容易在解題過程中思維混亂，層次不清，最終導致錯解.最后，做好整合工作，分類討論解題的整合工作十分重要，將重疊的部分好好整合，盡量簡化計算結果，做到簡明扼要，一目了然.

下面以一個簡單的集合例題感受一下分類討論方法在數學解題中的具體應用.

2.2轉化與逆向思維在數學解題中的應用

高中解題中常常用到轉化思想.根據布魯姆的教育理念，轉化思想是將某一問題從一種表達形式轉換成另一種表達形式，以簡化問題的解決方式.轉化方式在解題中的應用多種多樣，可以將描述性語言轉換為圖形語言，可以將正面表述轉換成反面表述.高中數學難度大、內容多，巧妙運用轉換思想可以將陌生的題目轉換成熟悉的題目，將復雜的問題轉換成簡單的問題，從而達到解決問題的目的.

我們以轉化思想中的逆向思維為例進行說明.當我們在解決數學題目的過程中，運用正向的分析方法遇到困難時，可以轉化為逆向思維嘗試解決問題，即反證法.其原理原命題與其逆否命題等價，我們可以通過解決逆否命題來解決原命題，條件是逆否命題較為簡單.下面以一個概率問題進行說明.

分析：首先嘗試從正面解決該問題，“至少一人投籃成功”包括三種情況：一種是只有一人投籃成功；一種是兩人投籃成功；一種是三人均投籃成功.從正面解決問題需要對問題進行分類討論，較復雜.我們可以將問題轉化成對立事件進行分析，即“沒有人投籃成功”，而“至少有一人投籃成功”的概率=1-“沒有人投籃成功”的概率.

2.3數形結合思想在數學解題中的應用

分析：集合的并、和、非等運算看似簡單，但是綜合在一起時，學生往往顧此失彼，考慮難以周全，最后造成無從下手.而數形結合就是集合問題的克星，根據題中的條件在維恩圖中一一進行標記，就可以輕松得到答案.

2.4整體思想在數學解題中的應用

整體法是數學解題中經常用到的數學思想.多數數學習題都是源于課本而高于課本的，往往看起來復雜的數學題實際上是將舊知識進行重新整合，從另一個角度考查學生對知識的掌握程度.在數學解題過程中，學生常常遇到這樣的困難，即有的題目好像條件根本不足以解決問題，造成問題無從下手.實際上，過于糾結這些細枝末節的問題容易為解題帶困難，有意識地運用整體構造法能夠幫助學生運用舊的知識解決新的問題.我們以一個常見的三角函數問題進行說明.學生經常用到且比較熟悉的角度有：45°、60°、30°等，而碰到22.5°和15°就不知如何解決，其實我們可以將它們與熟知的45°、30°相聯系.

3.總結

掌握數學思想方法，在是解決數學問題的有效利器.除了以上談到的整體思想、分類討論思想和轉化思想之外，常用的數學思想還有化歸思想、數形結合思想等.教會學生靈活地運用數學思想有利于激發學生的學習興趣，培養學生思維的縝密性、科學性等優良品質，提高學生學習效率.

參考文獻：

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