數形結合思想在高中數學教學中的滲透和應用

新課程標準指出，高中數學課程的目標之一是“使學生獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊涵的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用”.關注數學思想方法教學已成為當代數學教育的一大特色，在新課程改革中，中學數學內容在要求和處理上都力圖體現出對數學思想方法的注重.然而，在數學課堂教學中雖不乏思想方法內容，但一些學生在運用時一旦面臨新的情境就會不知所措，數學思想沒能被內化.中學數學思想方法教學存在什么問題呢？是否在高三總復習時匆忙地復習幾個專題就可以了呢？筆者認為其實應該分布在各個模塊、各個章節有計劃、有規律地滲透這些數學思想方法.數學思想方法很多，下面我結合自己的教學實踐，以數形結合思想為例，談談如何提高使學生的數形結合能力.

筆者認為在平時的高中數學教學中應該時常滲透數學思想方法，讓學生感悟數學思想.只有平時積累，到高三復習時才不會覺得唐突.以下用案例說明如何讓學生既掌握數學方法，又能從數學思想的高度增強數學方法的意識和能力.在進行人教A版必修1教學時，最能體現的是數形結合思想，表現在三方面.

一、解決集合問題

在集合運算中常常借助于數軸、venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了.在講集合的運算這一節時，先讓學生試著從字面上理解“交”、“并”、“補”的含義，然后讓他們利用維恩（Venn）圖，從直觀上感受“交”、“并”、“補”的意義，最后以集合語言加以闡述，讓學生從各個不同的角度體會集合的“交”、“并”、“補”運算，再次滲透數形結合思想.

【教學片斷1及分析】某班共有30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，求喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數.

分析：先將文字語言轉化為集合語言，設U為全班學生組成的集合，A，B分別表示喜愛籃球運動的學生組成的集合，喜愛乒乓球運動的學生組成的集合，再利用Venn圖可直觀得出答案.

設計意圖：解答有關集合的實際應用題時，首先將文字語言轉化為集合語言，然后借助Venn圖分析，結合集合的交、并、補運算處理，體現Venn圖的簡明、直觀.

二、解決函數問題

借助于圖像研究函數的性質是一種常用的方法，函數圖像的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法.

設計意圖：根據問題1給出的圖像，選擇觀察的方向，分析其中的數量關系，訓練學生的識圖能力，能直觀感受從圖像的“上升”與“下降”，理解函數的單調性.最后運用數學符號語言將文字語言的描述提升到單調性的定義.問題2通過學生動手實踐，讓學生親歷了“數—形”，“形—數”的思考過程，獲得基本體驗，從兩個方面理解數形結合方法的含義，理解數與形轉換的意義，進行數形結合的思想立意.在教學中對直觀圖形的利用，就可以讓學生直觀形象地理解抽象的概念.通過數與形的有機結合，把形象思維與抽象思維有機地結合，盡可能地先形象后抽象，不但能促進這兩種思維能力同步發展，還能為學生初步形成辯證思維能力創造條件，能夠有的放矢地幫助學生從多角度、多層次出發地思考問題，養成多向思維的好習慣.引導學生變靜態思維方式為動態思維方式，也就是以運動、變化、聯系的觀點考慮問題，更好地把握事情的本質.

三、解決方程與不等式的問題

處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數圖像的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路.

設計意圖：由“數”想到“形”，對學生本身就是一個“坎”，之所以學生“懂而不會”，是因為缺乏基本體驗.因此，教師切不可過早地“推銷”自己的解法，要給學生足夠的探索、體驗的時間.讓學生講出思維的“觸發點”，如何邁出第一步，在比較的基礎上，讓學生經歷“數—形—數”的思維過程，獲得思想的解放，增長有“數”思“形”的見識，能夠自主地調整思維方向.調整思維方向，使學生認識有關方程的求解問題可以轉化為考查函數的交點問題，于看不見“形”的地方發現圖形，邁出關鍵的一步，體現出數形結合思想在解題中的妙處.

設計意圖：巧妙地應用數形結合思想解題，往往會使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，達到優化解題途徑的目的.從“數”的嚴謹性和“形”的直觀性兩方面思考問題，拓寬解題思路，可收到事半功倍的效果.

“數形結合”就是根據數量與圖形之間的對應關系，把抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，使抽象思維和形象思維相結合，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要的數學思想，也是一種常用的數學方法.數形結合包括“以形助數”、“以數輔形”和“數形互助”三個方面.巧妙地應用數形結合思想解題，往往會使抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，達到優化解題途徑的目的.從“數”的嚴謹性和“形”的直觀性兩方面思考問題，拓寬解題思路，可收到事半功倍的效果。正如我國著名的數學家華羅庚先生所說：“數缺形時少直觀，形離數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休.”

教師要認真研究教材，從數學發展的全局著眼，從具體的教學過程著手，逐步滲透數形結合思想，能做到“眼”中有形，“心”中有數，就能“成功人生”.讓學生養成數形結合的良好習慣，使它成為分析問題、解決問題的工具，這是所有數學教育工作者都應該追求的目標.