例解高等代數教學中抽象思維能力的培養

2013-12-29 00:00:00方次軍

考試周刊 2013年20期

摘要：本文作者根據多年的高等代數教學實踐，討論了高等代數的抽象性，并通過例子加以解釋說明，加強學生對概念的理解與掌握。

關鍵詞：高等代數教學方法抽象思維能力

高等代數是高校理工科專業一年級的基礎必修課，該學科內容抽象，邏輯嚴密，包含有許多現代數學的基本觀點和方法，它不僅是中學數學的繼續和提高，而且是現代數學的基礎，主要培養學生抽象思維能力和推理論證能力。其研究的主要對象是代數系統的結構，以及相互間的關系和法則，它以嚴密的邏輯推理形式來考察各種代數的結構并逐層抽象。由于這門課程理論性較強，教學難度較高，學生在學習高等代數，特別是在學習行式、線性空間，同構，線性變換等理論時會感到難以理解，學習起來有困難。下面我結合自己多年的高等代數教學實踐，談談對概念教學的認識。

1.概念教學中思維深刻性的培養

概念是思維的細胞，是濃縮的知識點。概念教學中需要重視培養學生思維的深刻性，培養學生分清概念與問題實質的能力。具體表現為能洞察所研究事物的本質及其相互聯系；能從所研究的材料中揭示被掩蓋的特殊情況；能通過對比、聯想概念之間的異同，找出每個概念的特點，以挖掘出每個概念的關鍵所在。如講到矩陣乘法：A=（a），B=（b），C=AB=（c），要向學生說明乘法能作的條件：第一個矩陣的列數應等于第二個矩陣的行數。數的乘法與矩陣乘法有相同之處，但更注意其較大的不同之處：矩陣乘法有零因子，一般不滿足交換律，那么矩陣的乘法就很值得研究了。再通過數的除法運算過渡到逆矩陣的概念與求法，等等。同時在授課中輔以電子課件講解，習題課時可運用數學軟件如：Maple或Matlab，向學生展示矩陣的加法，乘法及逆運算和線性方程組的求解等。這樣一方面可獲得更好的教學效果，另一方面也能充分調動學生學習高等代數的積極性，既省時又省力，還可帶動學生加快思維，盡快消化所學知識，使其對新知識印象更深，掌握得更牢。為學生的思維由形象到抽象的轉化奠定基礎。

2.形象思維與抽象的和諧統一

高等代數的概念較多，也比較抽象，必須準確地理解內涵，掌握概念的本質屬性，才有可能正確地展開數學的一整套理論。在教學中可結合新概念，化抽象為具體，先可舉幾個符合定義條件的例子把概念具體化，這對多數學生來說是非常重要的；同時在教學中可結合教學內容，適當穿插一些高等代數發展的史料，介紹國外數學家的生平和成就，讓學生了解高等代數的發展、演變過程。例如：講行列式的定義時，可以結合行列式產生的概念背景，逐步介紹行列式理論的形成過程：行列式是在尋求線性方程組公式解的過程中產生的，為了將二元一次、三元一次方程組的解表示成容易記憶的形式，馬克勞林引進了二階、三階行列式，經過猜想和實驗，得出二、三階行列式的值由對角線法則算出。繼續推廣表明，對于四階以上的行列式，對角線法則失效，這就迫使人們重新觀察二、三階行列式的展開規律，并將所得規律加以推廣歸納形成了n階行列式的定義。然后由定義出發，在研究行列式七大性質的基礎上，得到了求線性方程組的公式解：Cramer法則。這樣講解可讓學生透徹理解行列式的概念與形成過程，在教學中增添了情趣，也活躍了課堂氣氛。同時，數學教學要求把抽象的內容形象化，可通過直觀的形象來深化抽象的內容，這種抽象中的形象，正是數學教學的真諦。如講到實二次型化為標準型（即主軸問題）一節時，可以有意識地與中學所學的將有心二次曲線f（x，y）=ax+bxy+cy化為平方和的問題相聯系，那么我們在中學所講的坐標變換就是正交矩陣。這樣，通過比較不僅為抽象的理論提供了形象的數學模型，而且提高了學生的抽象思維能力，進而從較高的層次對中學教材的內容有了更深刻的理解。例如對于線性方程組理論的各個結論，我們可以看做是中學課本中學到的三元一次方程組的解的求法推廣，得到消元法和基礎解系，最后使解的存在與判斷得到了圓滿解決。

3.舉例說明

當引入線性空間的定義時，可讓學生做如下筆記加以說明：（1）線性空間具有一般性。其中的元素不一定是通常意義下的向量，可以是數、矩陣、多項式、函數等，但都可以簡稱為向量。（2）線性空間的抽象性。主要體現在兩個運算上，其中的加法和數乘未必就是我們所熟知的向量、矩陣、函數、多項式等的加法與數乘運算；之所以這樣稱呼，是因為這兩種運算滿足通常的加法與數乘規律。如果在同一非空集合V和數域P上按不同的規則來定義這兩種運算，所構成的線性空間一般是不同的。（3）線性空間涉及的數域P，當取不同的數域P時，線性空間的定義形式上沒有改變，但線性空間的一些性質：如相關性、維數通常會改變。

下面以教材中的一道例子加以解釋說明：

例：全體正實數R，定義在實數域上，加法和數乘如下：a？茌b=ab；k？莓a=a，問是否構成線性空間？

解：顯然所給集合對定義的加法和數乘運算封閉，1.a？茌b=ab=ba=b？茌a；

2.（a？茌b）？茌c=（ab）？茌c=abc=a？茌（bc）=（a？茌）b？茌c；

3.1是零元：a？茌1=a1=a；

4.a的負元是：a？茌=a=1；

5.1？莓a=a=a；6·k？莓（l？莓a）=k？莓a=（a）=a=a=（kl）？莓a；

7.（k+l）？莓a）=a=aa=（k？莓a）？茌（l？莓a）；

8.k？莓（a？茌b）=k？莓（ab）=（ab）=aa=（k？莓a）？茌（k？莓b）.

故R，定義在實數域上，對規定的加法和數乘構成線性空間.

注：這里的加法和數乘運算已經泛化，零元是1，a的負元是，需特別加以引導，使學生加深理解。

總之，要高度重視高等代數這門基礎課的教學，充分挖掘學生的潛能，培養學生對數學抽象概念的理解能力。