重視數據分析 培養隨機觀念

在小學進行“可能性”教學，可以幫助學生積累隨機活動經驗，增強隨機活動體驗，初步建立隨機觀念，改善思維方式。在聽課過程中，筆者發現：教師比較重視實驗活動，組織學生通過多次實驗（如摸球等）體會隨機性，但對實驗數據缺少必要的分析，未能借助及時的數據分析，幫助學生準確理解“可能性”的深刻內涵。有的教師缺乏本體知識，或不敢分析，或不會分析，或胡亂分析；有的教師只作簡單、籠統、膚淺的分析……致使學生的認識停留在表層，未觸及本質，“可能性”的教育意義被大打折扣。為此，筆者建議：重視數據分析，培養隨機觀念。

一、 通過數據分析，不斷體會隨機性

隨機性是一個非常重要的概念，理解它的豐富內涵不但要多做實驗，而且要多收集和分析實驗數據，幫助學生深刻體會“可能性”的含義，增強感性認識。如蘇教版教材在剛教學“可能性”時，設計了這么一個實驗：一個口袋里有3個黃球和3個紅球，從中任意摸一個，會摸到什么球？學生憑經驗和直覺會猜到：可能會摸到黃球，也可能會摸到紅球。真的會是這樣嗎？于是，教師引導學生通過分組實驗來驗證，每人摸10次。學生實驗后發現：兩種球都可能摸到，每次摸到的結果是不確定的。筆者認為，在實驗前，教師還應啟發學生各自猜測：如果每人摸10次，你能確定第幾次摸到黃球嗎？你能確定共有幾次摸到黃球嗎？學生帶著猜想進行實驗，會更有思考和興致。實驗時要求學生把摸到的結果一一記錄下來，實驗后學生先把結果與猜想進行對照，再在組內匯總，繼續進行觀察、比較和體會，最后全班匯總，對總結果再進行觀察、分析和體驗。這樣，學生會對隨機性的一大特點——“必然中的偶然”有更全面和更深刻的認識。筆者把其中一組的實驗結果收集、展示如表1。

學生通過觀察、比較和分析上述結果，感悟到：從每名學生的實驗結果看，盡管都摸到了黃球，但不能確定其在第幾次摸到黃球，也不能確定其共有多少次摸到黃球，而且每名學生的摸球結果幾乎都不一樣；從全組的實驗結果看，每次都有學生摸到黃球，每次摸到黃球的人數也不盡相同，而且每次摸到的情況也不一樣……從中具體體會“可能性”的深刻含義，體會隨機性。

為了強化學生的認識，筆者還把全班的實驗數據匯總成如表2：

表2 第幾次摸到黃球的人數統計表

學生通過觀察、分析和比較表中數據得知：盡管對每名學生來說，在實驗前不能確定第幾次摸到黃球，但對全班來說，每次都有學生摸到黃球，而且每次摸到黃球的人數也不盡相同，多在全班人數的一半附近。

表3 一共摸到黃球次數的人數統計表

學生通過觀察、分析和比較表3中數據得知：盡管每個學生都摸10次，但在實驗前不能確定其共有多少次摸到黃球。

這樣，學生對隨機性的一大特點——“必然中的偶然”就會有更全面、更豐富和更深刻的認識，從而為初步建立隨機觀念打下較為堅實的基礎。

二、 通過數據分析，不斷體會等可能性

可能性相等，游戲才公平。等可能性是指機會的相對平等。正因為有“等可能性”，可能性才可以用分數表示，從而實現可能性由定性描述向定量刻畫的過渡。但對小學生來說，從過去結果相等的絕對公平到現在機會相等的相對公平，理解起來何等艱難！為此，在教學這部分內容時，不但要多做實驗，而且要多分析實驗數據，多借助圖形表示數據，使學生形象地理解相對量相等的內涵。

如蘇教版教材在教學“游戲的公平”時，也安排了上述摸球實驗。在《教師用書》上對這部分內容給出的教學建議是：在經歷不公平的游戲之后， “讓學生根據例題要求設計公平的游戲，使口袋里的紅球與黃球個數同樣多，再摸球并作記錄，看看每種球摸到的次數是不是差不多，是誰贏了。接著反復做幾次游戲，使學生看到雙方都有贏的機會，贏的次數也比較接近，確信這樣的游戲規則是公平的”。筆者認為，在此基礎上，還要收集和分析實驗數據，并把數據制成圖形，從而幫助學生深刻體會“等可能性”的含義。實驗后，筆者有意識、有次序地請學生分別收集、匯總每人摸10、40、120、240次時的實驗數據（可以把多人實驗數據的和作為1人的實驗數據），并用圖1表示出來：

引導學生分別把各個實驗數據與圖中的半數進行比較，通過不斷分析、比較和推理，逐步發現：在同一條件下，獨立地、重復地做同樣的實驗，當實驗次數較少時，摸到紅球和黃球的機會波動性比較大；當實驗的次數越來越多時，波動性越來越小，越來越接近于實驗次數的一半。為了進一步形象地說明“等可能性”的含義，筆者又出示幾位著名學者拋硬幣所得到的數據，并用圖2表示出來：

引導學生通過不斷觀察、比較和分析圖中實驗數據，逐步發現：隨著試驗次數的不斷增多，正面和反面朝上的可能性會逐漸穩定在實驗次數的一半的附近。這里的相等，原來就是指機會不斷逼近實驗次數的一半的過程。

把數據制成圖形，便于學生形象地理解“等可能性”的深刻內涵，準確地把握隨機事件的另一特點——“偶然中的必然”，順利地實現從過去結果相等的絕對公平到現在機會相等的相對公平。學生從中能更真切地體會到實驗數據雖有隨機性，但也有必然性，而且從總體上看，試驗的次數越多，必然性越明顯。

三、 通過數據分析，不斷體會規律性

蘇教版教材把“用分數表示可能性的大小”安排在六年級。教材中有這樣一題：在一個袋中，有3個紅球，2個黃球，從中任意摸一個球，摸到紅球的可能性有多大？學生通過計算認為摸到紅球的可能性是■，即概率是■。許多教師認為學生已學會量化表示，達到了教學目標，教學便告結束。筆者認為，教師不應只讓學生“一算了之”，還應引導學生通過實驗，體會數據的隨機性和規律性，幫其準確理解“■”的深刻內涵。在學生計算之后，筆者是這樣處理的：先要求每人做10次試驗，算出每人摸到紅球的次數占總次數的比，并與摸到紅球的概率比較，再在組內和全班交流，仍與摸到紅球的概率進行比較。全班交流時，筆者引導學生發現摸到紅球的次數從十分之一到十分之九都有，而且每名學生摸到紅球的次數也不盡相同，進而發現：在試驗次數較少時，摸到紅球的次數占摸球的總次數的比與概率有較大的差距，而且波動性大。

接著，筆者啟發學生深思：假如每人實驗的次數逐步增加，結果會怎樣呢？引導學生把同組6人的實驗數據進行合計，算出本組摸到紅球的次數占摸球總次數的比，并與摸到紅球的概率進行比較，看看有什么發現，從中體會數據的隨機性和規律性。待各組一一匯報并與概率分別比較后，筆者再次引導學生把各組的實驗數據逐步累計，直到算出全班摸到紅球的次數占摸球的總次數的比，并與摸到紅球的概率依次進行比較，從中進一步體會數據的隨機性和規律性。筆者現把兩次統計結果匯總成表4（全班48人，平均分成8組）：

學生通過觀察、比較和分析表中數據，逐步發現：摸到紅球次數占摸球的總次數的比隨實驗次數的相同或不同而變化，是不確定的，有較大的隨機性：當實驗次數較少時，摸到紅球次數占摸球的總次數的比的波動性比較大，但從總體上看，隨著摸球的次數的不斷增加，摸到紅球的次數占摸球的總次數的比逐步趨向穩定值，越來越接近，呈現出一定的規律性，但不排除特例。筆者還引導學生合情推理：假如試驗的次數無限增大時，從總體上看，摸到紅球次數占總次數的比會怎樣？學生很自然地推想到：會越來越逼近摸到紅球的概率，但也不排除特例。

筆者認為，在“可能性”的教學中要多進行類似的實驗和分析，要使學生的認識逐步從表面走向內在，從膚淺走向深刻，從感性走向理性。學生從中能初步學會數據分析的方法，切實感悟到數據中既有隨機性，又有規律性，數據是有力量的，進行數據分析是有價值的，從而喜愛收集數據，樂于分析數據，并善于運用數據推測，逐步培養數據分析觀念和隨機觀念，學會用概率的眼光看世界。