小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的三“借”與三“辨”

概念是最基本的思維形式，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體。如果學(xué)生對(duì)概念理解不到位，既影響他們對(duì)概念的運(yùn)用，也直接影響他們思維能力的發(fā)展。由于小學(xué)生思維的形象性，促使我們?cè)诔橄蟾拍畹慕虒W(xué)中要借助一些外部的直觀經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蛢?nèi)部的深層辨析來幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想，理解掌握概念的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵。

一、概念模式抽象中的三個(gè)“借助”

1.借助學(xué)具感知

數(shù)學(xué)概念是人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐過程中通過對(duì)感性材料的分析，抽象出事物的本質(zhì)屬性而形成的。所以，在概念教學(xué)時(shí)我們要利用日常生活中學(xué)生所接觸到的豐富而典型的事物作為感性材料，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和分析，形成概念的表象認(rèn)識(shí)。

如，為了讓學(xué)生掌握單位“1”這一概念，教學(xué)時(shí)要為學(xué)生提供多樣的認(rèn)知材料：一條繩子，一罐豆子，一把筷子，8個(gè)草莓圖，一杯水等。讓學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、一個(gè)整體都可以用單位“1”表示，從而掌握單位“1”這個(gè)概念的本質(zhì)特征，為理解分?jǐn)?shù)的意義夯實(shí)基礎(chǔ)。在幾何知識(shí)“長(zhǎng)方體和正方體的初步認(rèn)識(shí)”中，無論是線、面、體的概念還是圖形特征、性質(zhì)都非常抽象，教學(xué)中教師可以利用牙膏盒、魔方等實(shí)物作為感知學(xué)具，讓學(xué)生“看一看”、“摸一摸”，“擺一擺”，從而感受長(zhǎng)方體和正方體的面、棱、形狀的特征，初步建立長(zhǎng)、正方體概念的表象模型。

2.借助模擬演繹

由直觀感知所獲得的對(duì)于概念表象的認(rèn)識(shí)是粗淺的，具有局限性和片面性，學(xué)生往往難以“準(zhǔn)確把握”和“全面理解”。在教學(xué)中，教師可以通過模擬演示，將微觀的理論直觀化，化抽象為形象，既能幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)，又可以讓他們知其所以然，激發(fā)他們濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

如在學(xué)習(xí)了“射線、線段和角”后，讓學(xué)生找一找身邊的哪些物體具備這些圖形。由于學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的差異，直接影響概念抽象的程度，也影響例證的“準(zhǔn)度”，這樣，也有利于教師發(fā)現(xiàn)問題，及時(shí)解決補(bǔ)救，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

又如，“平移和旋轉(zhuǎn)”一課的教學(xué)難點(diǎn)在于圖形平移距離的確定。教學(xué)中，先讓學(xué)生在準(zhǔn)備平移的圖片上選擇某個(gè)點(diǎn)（或邊線）作為起點(diǎn)，找出移動(dòng)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)（或?qū)?yīng)線）之間的距離，也就可知整個(gè)圖形移動(dòng)的距離，接著教師再用多媒體進(jìn)行直觀演示，在演示中用閃動(dòng)的線條確定移動(dòng)前和移動(dòng)后圖片的同一點(diǎn)或邊緣線段，解決了數(shù)學(xué)概念的高度抽象性和兒童思維發(fā)展具體形象性的矛盾，同時(shí)分散“確定基準(zhǔn)點(diǎn)”和“找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)”的這個(gè)難點(diǎn)，使學(xué)生充分體驗(yàn)了平移概念的形成過程，牢固形成平移概念的結(jié)構(gòu)體系，構(gòu)建了平移概念的模型。

3.借助例證舉隅

概念教學(xué)，既要注重教學(xué)的形式，更要注重概念內(nèi)涵的理解和實(shí)際運(yùn)用。在學(xué)生初步形成概念模型后，讓學(xué)生把獲得的經(jīng)驗(yàn)具體運(yùn)用于例證舉隅，可以加深他們對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和記憶，發(fā)展邏輯思維能力。

如，某教師在學(xué)生體驗(yàn)“平移”后，讓學(xué)生說一說生活中所見到的平移現(xiàn)象。馬上有學(xué)生能指著教室窗戶上掛著的窗簾布說“窗簾”。從窗簾移動(dòng)的方式來看，拉開的窗簾布是在做直線運(yùn)動(dòng)，但這個(gè)現(xiàn)象經(jīng)不起平移的考量。平移的關(guān)鍵在于“同一平面內(nèi)”、“直線移動(dòng)”、“圖形的形狀和大小不變”。當(dāng)窗簾拉開時(shí)，窗簾布所占的面是否發(fā)生變化呢？數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn)、論證嚴(yán)格的學(xué)科，在學(xué)生表達(dá)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，發(fā)現(xiàn)問題，不要讓表面的現(xiàn)象干擾了學(xué)生的思維判斷，逐步養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的縝密思維習(xí)慣。

二、概念模型建立中的三個(gè)“辨析”

1.逆向反例——異辨

反例是與正例相對(duì)立的，沒有反例的襯托，概念的特性不易凸顯。教學(xué)中不能單靠正面示范和反復(fù)練習(xí)去避免學(xué)生的錯(cuò)誤，而是要巧妙使用反例，不斷地變換表述方式，在對(duì)比、分析、推理中升華概念。

如在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”之后，給出“一個(gè)自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)，就是合數(shù)”的是非判斷題。我們知道，質(zhì)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，合數(shù)是除了1和它本身外還能被其他整數(shù)整除的自然數(shù)，無數(shù)個(gè)自然數(shù)中也包含“0”和“1”。通過這樣的綜合比較、全面分析，突出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的內(nèi)涵，從而深化學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)、合數(shù)的認(rèn)識(shí)。

又如“如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等”是肯定的例證，反之問：“‘如果兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等’這句話是否正確呢？”教學(xué)中類似這樣的反例有助于學(xué)生辯證地思考問題，從而鞏固和強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)理解，促進(jìn)學(xué)生全面、深刻地認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)屬性，培養(yǎng)學(xué)生思維的深度。

2.近似類比——思辨

由于數(shù)學(xué)系統(tǒng)知識(shí)的兼容性、相依性和生長(zhǎng)性，數(shù)學(xué)概念中有一些名稱相似、意義頗近卻不盡相同、互有聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別的易混概念，教學(xué)中要讓學(xué)生加以辨別，在思辨中矯正學(xué)生的思維，防止由于理解的偏頗而泛化概念。

如“數(shù)位”與“位數(shù)”。數(shù)位是指一個(gè)數(shù)中每一個(gè)數(shù)字所占的位置。位數(shù)是指占有幾個(gè)數(shù)位的數(shù)。例如“2617”，最高位的“2”在千位上，表示2個(gè)千，“千位”就是數(shù)位。這個(gè)數(shù)占有“個(gè)位”、“十位”、“百位”、“千位”四個(gè)數(shù)位，所以這是一個(gè)四位數(shù)。

又如“容積”和“體積”，計(jì)算物體容積或容量要從容器內(nèi)部測(cè)量出長(zhǎng)、寬、高；如果計(jì)算體積就要從物體外部量出容器的長(zhǎng)、寬、高。除此之外，還有“整除”和“除盡”、“平均數(shù)”和“中位數(shù)”等一些形似質(zhì)異容易混淆的數(shù)學(xué)概念，構(gòu)成了一種思辨數(shù)學(xué)的雛形，在教學(xué)中都要及時(shí)進(jìn)行類比，理清它們之間內(nèi)在的聯(lián)系和區(qū)別，讓學(xué)生熟練掌握其性質(zhì)特征，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的發(fā)展目標(biāo)。

3.多維變式——善辨

一些教師習(xí)慣用常見的、學(xué)生熟悉的“標(biāo)準(zhǔn)”來呈現(xiàn)教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)外延性概念認(rèn)識(shí)不足。教學(xué)的有效途徑就是將概念的外延作為變異空間，將其所包含的對(duì)象作為變式，通過形變質(zhì)不變類化不同變式的共同屬性，以此幫助學(xué)生全面把握概念內(nèi)涵。

如教學(xué)“認(rèn)識(shí)角”時(shí)，要注意提供有代表性的直觀材料，既要讓學(xué)生感知直角、銳角、鈍角等不同種類的角，又要注意變化角的大小和角的開口方向，這樣才能讓學(xué)生獲得對(duì)角的清晰認(rèn)識(shí)。在學(xué)習(xí)“能被2、3、5整除數(shù)的特征”后，為了打破學(xué)生的慣性思維，將對(duì)概念的掌握和理解轉(zhuǎn)化為解決實(shí)際問題的技能，達(dá)到舉一反三的目的，可設(shè)計(jì)這樣的練習(xí)：在“12，30，45，60，80，150，1200”這幾個(gè)數(shù)中，既含有約數(shù)2、3，又有約數(shù)5的數(shù)有（ ）；既是2的倍數(shù)，又是3和5的倍數(shù)的數(shù)有（ ）；既是3的倍數(shù)，又含有約數(shù)2，還能被5整除的數(shù)有（ ）。這種綜合“變式法”打破學(xué)生已有的慣性思維，既培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和廣闊性，也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的知識(shí)堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。