辨析一類易錯的命題判斷題

近日筆者學(xué)習(xí)了項(xiàng)金標(biāo)老師《你真的清楚學(xué)生的理解方式嗎？》 （《小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》2012.7，原發(fā)表在《教育研究與評論》小學(xué)教育教學(xué)版（南京），2012.4）（簡稱文[1]）一文，文[1]認(rèn)為學(xué)生理解方式的偏差與理解能力的不足造成對知識解答的錯誤，并列舉了多個實(shí)例來說明學(xué)生的理解方式出現(xiàn)偏差。筆者對其中的幾個實(shí)例有一些不同的看法，在此不揣冒昧和大家交流一下，請大家批評指正。

[實(shí)例1]判斷正誤：“甲數(shù)除以乙數(shù)，等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。”

文[1]認(rèn)為，因?yàn)轭}中沒有明確乙數(shù)不是0，而教科書中卻有明確的表述，因此認(rèn)為此命題是錯誤的；學(xué)生認(rèn)為“甲數(shù)除以乙數(shù)是前提，既然可以除，乙數(shù)就不應(yīng)該為0”是學(xué)生的理解方式出現(xiàn)了偏差。但筆者卻認(rèn)為學(xué)生的理解是正確的。

事實(shí)上，我們知道任何一個命題都包括條件和結(jié)論兩個部分，判斷一個命題的對錯，其實(shí)質(zhì)就是判斷從命題的條件出發(fā)是否能必然推出結(jié)論成立。即在談到一個命題時(shí)，首先要保證這個命題的條件是成立的，然后才能涉及命題的結(jié)論是否成立的問題，如果條件本身就不成立的話，那么這個命題就沒有意義了。在實(shí)例1中，“甲數(shù)除以乙數(shù)”是條件，“等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)”是結(jié)論。我們要判斷的不是“甲數(shù)除以乙數(shù)”這個條件是不是成立，而是要判斷在這個條件下，結(jié)論是否成立的問題，其正誤是顯而易見的。

文[1]判此命題為真，理由是“習(xí)慣性的理解一個數(shù)的幾分之幾不包含0”，并且認(rèn)為“這樣的問題很難跟學(xué)生講清楚，而且價(jià)值不大”，同時(shí)認(rèn)為“所以我們在表述時(shí)，不妨就告訴學(xué)生甲數(shù)、乙數(shù)不為0，使學(xué)生不糾纏于細(xì)枝末節(jié)的問題”。

對于文[1]的上述理由，筆者有以下幾個疑問。

其一，“習(xí)慣性的理解一個數(shù)的幾分之幾不包含0”有何依據(jù)？是教師的慣性思維還是教科書中有明確的限定？筆者認(rèn)為，“0”在小學(xué)一年級的教科書上就介紹了，因此在沒有“此數(shù)不為0”的表述下，無根據(jù)的“習(xí)慣性”把0排除在外是不對的。

其二，認(rèn)為“這樣的問題很難跟學(xué)生講清楚，而且價(jià)值不大”是不正確的。實(shí)際上，從文[1]中的敘述看，學(xué)生對這個問題理解已經(jīng)很清楚了，甲數(shù)、乙數(shù)可能會同時(shí)為0，所以此命題為假。嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特性之一，教學(xué)中應(yīng)在學(xué)生能接受的范圍內(nèi)盡可能地保證知識內(nèi)容的科學(xué)、準(zhǔn)確。用分析特例的方法，否定或估算數(shù)學(xué)問題，是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的重要方法，其中蘊(yùn)含著極其重要的數(shù)學(xué)思想，其價(jià)值絕對是“大大的”，怎么能說“價(jià)值不大”呢？

[實(shí)例3]判斷正誤：“平行四邊形不是軸對稱圖形。”

文[1]中的表述是這樣的：“確有一部分學(xué)生認(rèn)為是錯的，但他并沒有把一般平行四邊形當(dāng)成軸對稱圖形來理解，而是認(rèn)為長方形、正方形也屬于平行四邊形，它們是軸對稱圖形，所以他們認(rèn)為正確的表述應(yīng)是：平行四邊形有的是軸對稱圖形，有的不是軸對稱圖形。”

根據(jù)原文表述可以看出，文[1]認(rèn)為“平行四邊形有的是軸對稱圖形，有的不是軸對稱圖形”是錯誤的。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中對平行四邊形的定義為：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。而長方形、菱形等顯然滿足平行四邊形的定義，因此長方形、菱形均為平行四邊形。又因?yàn)殚L方形、菱形為軸對稱圖形，所以“平行四邊形有的（如長方形、菱形）是軸對稱圖形，有的不是軸對稱圖形”的論斷是正確的。

事實(shí)上，這個命題的判斷涉及邏輯學(xué)中的全稱命題、存在性命題以及命題的否定等相關(guān)知識。對于此命題較為全面的辨析可以這樣入手：

首先，命題1：“平行四邊形是軸對稱圖形”，這個命題是真是假？辨析：這是一個全稱命題，意指任意的平行四邊形均為軸對稱圖形，這顯然是假的，如一般的平行四邊形都不是軸對稱圖形。

命題1的否定為：“有的平行四邊形不是軸對稱圖形”，記為命題2，那么命題2是真是假？辨析：這是個存在性命題，意指存在平行四邊形不是軸對稱圖形。確實(shí)存在平行四邊形不是軸對稱圖形，因此命題2為真。另外，根據(jù)命題與命題的否定真假性相反的原理，由命題1假也可推斷其否定即命題2為真。

接下來，我們探討命題3：“平行四邊形不是軸對稱圖形”是真是假？辨析：這是個全稱命題，意指任意的平行四邊形都不是軸對稱圖形。要說明一個全稱命題為假，只需舉出反例即可，如長方形、菱形都是平行四邊形，但它們是軸對稱圖形，所以命題3為假。

命題3的否定為：“有的平行四邊形是軸對稱圖形”，是真是假？記為命題4，那么命題4是真是假？辨析：這是個存在性命題，意指有（至少存在一個）平行四邊形是軸對稱圖形，這顯然是真的，因?yàn)橐f明一個存在性命題為真時(shí)，只需舉出一個實(shí)例即可，而長方形、菱形是平行四邊形，也是軸對稱圖形，因此命題4為真。

關(guān)于這個問題很多人會有這樣的誤解，認(rèn)為命題1“平行四邊形是軸對稱圖形”的對立面，即它的否定是“平行四邊形不是軸對稱圖形”。但事實(shí)上，命題1的否定應(yīng)為命題2“有的平行四邊形不是軸對稱圖形”，也可通俗地說成“平行四邊形不都是軸對稱圖形”。 當(dāng)然，關(guān)于命題和命題的否定等邏輯學(xué)知識是很難給小學(xué)生講明白的，也沒有必要對小學(xué)生講解有關(guān)內(nèi)容（現(xiàn)行中小學(xué)教材中，此知識在高中選修教材2-3中“簡易邏輯”部分介紹）。所以筆者認(rèn)為，對于此知識點(diǎn)，學(xué)生能了解平行四邊形有的是軸對稱圖形，有的不是軸對稱圖形就已經(jīng)足夠了，并且在小學(xué)階段實(shí)在沒有必要出現(xiàn)類似這樣的命題判斷。否則，詳細(xì)講解學(xué)生理解不了；模糊處理的話，又很可能給學(xué)生傳遞了錯誤的知識，對其以后的學(xué)習(xí)造成負(fù)面的影響。

最后值得一提的是，筆者發(fā)現(xiàn)在日常的教學(xué)活動中，經(jīng)常有些小學(xué)教師會犯一些類似這樣的錯誤，例如誤認(rèn)為“12條棱都相等的幾何體一定是正方體”“小數(shù)是一個特殊的分?jǐn)?shù)”等。要想避免這些類似的錯誤發(fā)生，其根本方法是要大力提升小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，同時(shí)要在編擬習(xí)題時(shí)盡量避免出現(xiàn)超綱現(xiàn)象。

（責(zé)編 黃春香）