正四面體，一個不能被忽視的模型

在立體幾何的教學過程中，有學生曾問過筆者一道題目：

已知三棱錐P-ABC，其中PA=4，PB=PC=2，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，求三棱錐P-ABC的體積.

當時，筆者給他的解答過程是這樣的（如圖1）：

作BC的中點D，連結PD，AD，則PB=PC，D是中點，PD⊥BC. 同理，AD⊥BC，？搖？搖所以BC⊥平面PAD. 又因為BC？奐平面ABC，所以平面PAD⊥平面ABC. 所以△PAD中AD邊上的高PH也是三延長PB，PC分別到點E與點F，使BE=CF=2，這樣PA=PE=PF=4. 又由題設∠APB=∠APC=∠BPC=60°，則△PAE，△PAF，△PEF，△AEF都是正三角形. 因此，三棱錐P-AEF是正四面體，顯然正四面體的體積是相對容易求的. 再觀察三棱錐P-ABC和P-AEF，其實它們就是以A為頂點，△PBC，△PEF為底面的兩個三棱錐，兩者的體積比就是底面三角形的面積比，而△PBC和題目解答完后，筆者注意到了正四面體模型在這道題中所起的作用. 由于課堂中對正四面體模型教學的“缺失”，導致同學們對正四面體模型的認識不夠，更加無法談掌握及靈活運用. 所以，筆者認為，如果能熟練地掌握正四面體模型的相關性質，并加以“巧用”“妙用”，肯定會有意想不到的效果.

下面筆者談一談“正四面體模型”對解題的二次思考.

正四面體的性質

性質2 正四面體內接于一正方體，且它們內接于同一個球，球的直徑等于正方體的對角線.

利用正四面體的性質

一、利用性質1，簡化解題過程，避免無效的重復計算

例1 在棱長都相等的四面體ABCD中，E，F分別為棱AD，BC的中點，連結AF，CE.

（1）求異面直線AF與CE所成的角的余弦值；

（2）求CE與平面BCD所成的角的正弦值.

解析 （1）連結FD，在平面AFD內，過E作EG∥AF交FD于G，則∠CEG 是異面直線AF與CE所成的角（或是其補角），如圖3所示.

（2）在平面AFD內，易證平面AFD⊥平面BCD，過E作EH⊥FD，連結CH，則∠ECH為CE與平面BCD所成的角.

點評 在已知此四面體為正四面體時，有效地使用正四面體中性質1進行簡化運算，能避免不必要的計算錯誤和重復運算. 例如第2小問中求解EH的長度，如果不用正四面體中的高，那計算必然煩瑣. 所以，在平時的復習過程中加強對正四面體模型的認識是有必要的，當掌握正四面體中高的值、角的大小等結論后，我們可以大大提高解題效率，做到事半功倍. 特別是在選擇題、填空題中.

二、利用性質2，使問題的解決別具一格、簡潔流暢

例2 一個球與正四面體的6條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積為_____________.

解析 如圖4所示，將正四面體補成正方體，由性質2可知正四面體的棱切球，即此球為正方體的內切球.

點評 該題的參考答案較復雜，上述解法把正四面體補成正方體，然后再利用正四面體的棱切球半徑等于正方體的內切球半徑解決，就會有意想不到的解題功效. 對幾何體的多角度認識，往往能將問題的解決途徑多元化.

三、構建正四面體模型，使解題角度更新穎

點評 此題很好地將“正四面體與球”以及“正四面體與正方體”之間的相容關系展現在我們面前.

思 考

著名數學教育家波利亞指出：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練.”在前面闡述的“正四面體模型”對解立體幾何題所帶來的思路之新穎、運算之便捷、圖形之直觀，使筆者感觸頗多. 于是，筆者認為在高中數學的學習中可以通過解題訓練來培養解題能力.

1. 培養認真審題的好習慣

仔細、認真地審題，提高審題能力是解題的首要前提. 復習中要養成仔細、認真的審題習慣，通讀題，對題目中的條件（特別是發現題目中隱含條件）、問題及有關的情況，進行整體認識，充分理解題意，把握本質和聯系，理清正確的解題思路.

2. 運用數學思想方法解題

由于高中數學中“數”與“形”無處不在，所以采用數形結合的思想可使問題明朗化，不但直觀，而且全面、整體性強，能比較容易地找到問題的關鍵，對解題大有益處. 解數學題最根本的途徑是“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”，所以轉化與化歸的數學思想也是高中數學解題中的常用數學思想方法.

3. 解完題后的反思訓練

養成解題后反思的習慣，務必做到：（1）檢驗求解結果. 主要是核查結果是否正確無誤，推理是否有理有據，解答是否詳盡無漏. （2）討論解法. 主要是尋求其他不同解法或改進解法，分析解法特征關鍵和主要思維過程；尋找規律，多題一解等. 這將有利于開拓思維、積累經驗，整理方法；有助于增強思維的靈活性和發展提高解題能力.