另類方法求二面角的平面角

引理：對任意△PAE，設∠PAE=θ1，作PB⊥AE于點B，則有公式：

以下分三種情況進行證明：

綜上所述，該引理成立.

四角公式及證明

因為任意一個平面都可用平面上不共線的三點來確定，故任意一個二面角都可以轉化為一個三棱錐模型來求.

四角公式：如圖4，設二面角P-AE-F的平面角為θ，∠PAE=θ1，∠FAE=θ2，∠PAF=θ3，則有公式：

證明：如圖5，在三棱錐P-AEF中，設二面角P-AE-F的平面角為θ，∠PAE=θ1，∠FAE=θ2（線棱角），∠PAF=θ3（線線角）. 作PB⊥AE于點B，作FC⊥AE于點C，在棱AE上取一點O，在△FAE中作OF′∥CF交EF于點F′，在△PAE中作OP′∥BP交EP于點P′.

四角公式求二面角在高考中的應用

例1 （2010年湖北高考）如圖6，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.

（1）設P為AC的中點，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ⊥OA；

（2）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.

解析 （1）略.

（2）法1：以棱AC上的點A為三角的頂點，由四角公式知θ1=∠OAC，θ2=∠BAC，θ3=∠OAB.

法2：以棱AC上的點C為三角的頂點，由四角公式知θ1=∠OCA=45° ④，θ3=∠OCB=45° ⑤.

點評 利用四角公式求二面角，關鍵是確定棱上某點，作三角θ1，θ2，θ3的頂點，找出兩個線棱角及線線角，最后歸結為解三角形.

（1）證明：DC1⊥BC；

（2）求二面角A1-BD-C1的大小.

解析 （1）略.

（2）由（1）知DC1⊥BC，又CC1⊥BC，所以BC⊥平面ACC1A1，所以AC⊥BC. 依題意設AC=BC=1，則AA1=2.

以棱BD上的點D為三角的頂點，由四角公式知θ1=∠A1DB=π-∠ADB，θ2=∠C1DB=90° ①，θ3=∠A1DC1=45° ②.

例3 在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2. 如圖8所示，沿對角線BD將△ABD折起，那么A，C之間距離為多少時，二面角A-BD-C為直二面角？

解析 由已知條件易得△ABD，△BCD都是邊長為2的正三角形.

以棱BD上的點B為三角的頂點，由四角公式知θ1=∠ABD=60° ①，θ2=∠CBD=60° ②，θ3=∠ABC.