立體幾何中的探索性問題

重點難點

立體幾何的計算和證明常常涉及兩大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等.

方法突破

一、與平行有關的探索性問題

對線面平行問題的向量解法，有兩種思路：（1）用共面向量定理，證明直線的方向向量能用平面內兩條相交直線的方向向量表示出來，即這三個向量共面，根據共面向量定理及直線在平面外，可得線面平行；（2）求出平面的法向量，然后證明平面的法向量與直線的方向向量垂直即可.

對面面平行問題的向量解法，有兩種思路：（1）利用向量證明一個平面內兩條相交直線分別與另一個平面平行，根據面面平行的判定定理即得；（ibb84R6hX7bzhc+zknNz/w==2）分別求出兩個平面的法向量，若能證明這兩個法向量平行，則這兩個平面就平行.

二、與垂直有關的探索性問題

對坐標系易建立的空間線面垂直問題，通常用向量法. 先求出平面的法向量和直線的方向向量，證明平面的法向量與直線的方向向量平行或者直接用向量法證明直線與平面內兩條相交直線垂直，再運用線面垂直的判定定理即可.

三、與角有關的探索性問題

利用向量知識求線線角、線面角、二面角的大小的方法.

四、與距離有關的探索性問題

如圖1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形. 平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（1）求證：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

思索 空間中的線線、線面、面面垂直問題都可以轉化為兩向量的垂直問題來解決，使幾何問題代數化，降低思維的難度. 立體幾何中的點的位置的探求經常借助于空間向量，引入參數，綜合已知和結論列出等式，解出參數. 這是立體幾何中的點的位置的探求的常用方法.

破解 （1）略.

（2）因為AB=3，AC=4，BC=5，所以AB⊥AC，所以AB，AC，AA1兩兩垂直. 以A為原點，分別以AC，AB，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標系（如圖2）.