空間距離

重點(diǎn)難點(diǎn)

在立體幾何中，空間距離主要有：點(diǎn)到平面的距離、兩異面直線間的距離、直線到平面的距離（線面平行時(shí)）、兩平行平面間的距離. 所有的距離計(jì)算問(wèn)題都可以化歸為求點(diǎn)到平面的距離，所以求空間距離的重點(diǎn)就轉(zhuǎn)移到如何求點(diǎn)到平面的距離；難點(diǎn)是如何把其他形式的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，以及在涉及具體問(wèn)題時(shí)求點(diǎn)到平面距離的解題對(duì)策的選擇及靈活應(yīng)用.

方法突破

一、注意把線線距離、線面距離、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離

（1）線面距離化歸為點(diǎn)面距離：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的點(diǎn)到平面的距離處處相等，直線上的任意一點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離.

（2）面面距離化歸為點(diǎn)面距離：當(dāng)平面與平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面上的點(diǎn)到另一平面的距離處處相等，其中一個(gè)平面上的任意一點(diǎn)到另一平面的距離即為兩平行平面間的距離.

二、掌握求點(diǎn)到平面的距離的幾種常用方法

（1）直接構(gòu)作法：設(shè)點(diǎn)A為平面α外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥平面α于B，則AB的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面α的距離.

（2）平行轉(zhuǎn)移法：設(shè)點(diǎn)A為平面α外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線a與平面α平行，則直線a上的任意一點(diǎn)到平面α的距離即為點(diǎn)A到平面α的距離.

典例精講

2. 如圖7，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為_(kāi)_______.

4. 如圖8，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，F(xiàn)為A1B1的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面BDF的距離.

5. 如圖9，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2. 以AC的中點(diǎn)Q為球心，AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N.

（1）證明：M為PD的中點(diǎn)；

（2）設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為θ，求sinθ的值；

（3）求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

參考答案

5. （1）依題意知，AC是所作球面的直徑，所以AM⊥MC. 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD. 又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，故AM⊥PD.又因?yàn)锳P=AD，所以M為PD的中點(diǎn).