空間角

重點難點

重點：以空間幾何體為載體的空間異面直線所成角、直線與平面所成角的計算以及二面角的計算.

難點：用空間向量法求異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角時，兩向量夾角與空間角之間的關系.

方法突破

對空間角的求解，應當破解畫圖、讀圖、識圖、用圖的層層關口，提升解題思維中的空間想象能力和邏輯推理論證的能力. 常見類型與方法如下.

1. 求異面直線所成角的方法

方法二：幾何法. 用幾何法求兩條異面直線所成角的步驟為：①利用定義構造角，可固定一條直線，平移另一條直線，或將兩條直線同時平移到某個特殊的位置；②證明找到（或作出）的角即為所求角；③通過解三角形來求角.

2. 求直線與平面所成角的方法

方法二：幾何法. 用幾何法求直線l與平面α所成角的步驟為：①找出直線l在平面α上的射影；②證明所找的角就是所求的角；③把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形來求角.

3. 求二面角的方法

方法二：幾何法. 用幾何法求二面角α-l-β的平面角θ的步驟為：①找出二面角的平面角（以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角）；②證明所找的角就是要求的角；③把這個平面角置于一個三角形中，通過解三角形來求角. 求二面角的平面角的口訣：點在棱上，邊在面內，垂直于棱，大小確定.

典例精講

考點1 異面直線所成角

（2013年福州選修2-1模塊質檢）如圖1，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°，求BD1與AC夾角的余弦值.

考點2 直線和平面所成角

思索 求出平面ECF的法向量，再利用線面所成角的公式，即可求其正弦值.

（2013年天津高考（節選））如圖4，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱A1A⊥底面ABC，且各棱長均相等，D，E，F分別為棱AB，BC，A1C1的中點，求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.

思索 先找直線BC在平面A1CD上的射影，可過點B作BG⊥A1D交直線A1D于G，證明BG⊥平面A1CD，從而可證明∠BCG為直線BC與平面A1CD所成的角. 在△BGC中，求出sin∠BCG的值.

破解 如圖5，在平面A1ABB1內，過點B作BG⊥A1D交直線A1D于G，連結CG.易知平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直線A1D是平面A1CD與平面A1ABB1的交線，故BG⊥平面A1CD. 由此得∠BCG為直考點3 二面角

某幾何體ABC-A1B1C1的三視圖和直觀圖如圖6所示，求二面角C1-AB1-C的余弦值.