直線、平面垂直的判定與性質

重點難點

本部分內容包括線面垂直的判定與性質，面面垂直的判定與性質.

重點：（1）理解線面垂直的定義，掌握線面垂直的判定定理和性質定理，掌握面面垂直的判定定理和性質定理；（2）能運用公理、定理和已獲得的結論，證明一些有關空間圖形的垂直關系的簡單命題.

難點：掌握線線垂直、線面垂直和面面垂直這三種垂直關系的相互轉化.

方法突破

一、一種關系——垂直問題的轉化關系

垂直關系證明的基本思想是轉化，即由線線垂直得線面垂直（線面垂直的判定定理），由線面垂直得面面垂直（面面垂直的判定定理），而由面面垂直得線面垂直（面面垂直的性質定理），由線面垂直得線線垂直（線面垂直的定義）. 垂直關系的證明就是在這些性質定理和判定定理的使用中，將各種垂直關系不斷進行轉化.在處理實際問題的過程中，我們常常需要先從題設條件入手，明確已有的垂直關系，再從結論分析待證的垂直條件，從而搭建起已知與未知之間的“橋梁”.

二、三類證法

1. 證明線線垂直的方法

（1）定義：兩條直線所成的角為90°.

（2）平面幾何中證明線線垂直的方法：如勾股定理、三角形全等、直線斜率的乘積為-1等.

（3）線面垂直的性質：a⊥α，bαa⊥b.

（4）線面垂直的性質：a⊥α，b∥αa⊥b.

2. 證明線面垂直的方法

（1）定義：a與α內任何直線都垂直a⊥α.

（2）線面垂直的判定定理1：m，nα，m∩n=A，l⊥m，l⊥nl⊥α.

（3）線面垂直的判定定理2：a∥b，a⊥αb⊥α.

（4）面面平行的性質：α∥β，a⊥αa⊥β.

（5）面面垂直的性質：α⊥β，α∩β=l，aα，a⊥la⊥β.

3. 證明面面垂直的方法

（1）定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角.

（2）面面垂直的判定定理：aα，a⊥βα⊥β.

典例精講

（2013年廣東高考）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）

A. 若α⊥β，mα，nβ，則m⊥n

B. 若α∥β，mα，nβ，則m∥n

C. 若m⊥n，mα，nβ，則α⊥β

D. 若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β

思索 本題考查線線、線面和面面之間的位置關系. 解答此類問題，首先要對概念認識清楚、對定理理解透徹；其次要具備較強的空間想象能力，能通過對題設條件的分析想象出所研究的線線、線面、面面之間的位置關系，從而做出正確的判斷和簡單的論證. 另外，在立體幾何中正方體是較簡單、較特殊的幾何模型，它蘊涵大量空間的線面概念和位置關系、各種角度和距離，且與其他幾何體有聯系. 因此，構造正方體也是解決這類問題的有力武器.將條件和結論置入正方體中，逐個判斷，可使解題過程簡潔明快.

破解 構造正方體ABCD-A1B1C1D1，對于A選項，不妨記平面ABCD為α，平面AA1D1D為β，根據已知條件取直線BC為m，直線A1D1為n，但是m∥n，所以A錯. 對于B選項，不妨記平面ABCD為α，平面A1B1C1D1為β，根據已知條件取直線AB為m，直線A1D1為n，但是m⊥n，所以B錯. 對于C選項，取平面ABCD為α，平面A1B1C1D1為β，直線AB為m，直線A1D1為n，于是m⊥n，但是α∥β，所以C錯. 故答案為D.

（2013年北京高考）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）平面BEF⊥平面PCD.

思索 （1）面面垂直的性質是用來推證線面垂直的重要依據，其核心是其中一個面內的直線與交線垂直. 本題中由平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD以及PA⊥AD可推出PA⊥底面ABCD.

（2）證明面面垂直，應先轉化為證明線面垂直，再把證明線面垂直轉化為證明線線垂直. 若由已知條件所得的其他線面垂直的結論，常常利用其性質輔助證明線線垂直.如第（1）問的結論就對第（2）問的證明起輔助作用.

破解 （1）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA平面PAD且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.

（2）因為AB⊥AD，而且易知四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又BE⊥CD，BE∩EF=E，所以CD⊥平面BEF. 又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

如圖2，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中點，F是DC上的點，PH為△PAD中AD上的高.

（1）證明：PH⊥平面ABCD；

（3）證明：EF⊥平面PAB.

思索 （1）線面垂直的證明，實質是由線線垂直推證得來，途徑是找到一條直線與平面內的兩條相交直線垂直. 推證線線垂直時注意分析幾何圖形，尋找隱含條件. 三角形底邊的高、等腰三角形底邊的中線、勾股定理等都是尋找線線垂直的有力工具. 甚至有時，當證明線面垂直不易利用條件時，可試將線段沿特殊路徑平移至特殊位置，這時可能和已知條件更接近. 例如第（3）問，若直接證明思維受阻，則可以考慮利用已知條件平移直線EF.

（2）對于垂直與體積結合的問題，在求體積時，常常根據線面垂直得到表示高的線段，進而求得體積，解題時應充分利用已經得到的結論，可以快速找到突破口.

破解 （1）因為PH為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD. 因為AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB. 又AD∩AB=A，所以PH⊥平面ABCD.

變式練習

1. 已知下列命題（其中a，b為直線，α為平面）：

①若一條直線垂直于一個平面內無數條直線，則這條直線與這個平面垂直；

②若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面；

③若a∥α，b⊥α，則a⊥b；

④若a⊥b，則過b有且只有一個平面與a垂直.

上述四個命題中，真命題是（ ）

A. ①② B. ②③

C. ②④ D. ③④

2. （2013年浙江高考）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列結論正確的是（ ）

A. 若m∥α，n∥α，則m∥n

B. 若m∥α，m∥β，則α∥β

C. 若m∥n，m⊥α，則n⊥α

D. 若m∥α，α⊥β，則m⊥β

3. 如圖4，四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1.

（1）求證：BC⊥AF；

（2）試判斷直線AF與平面EBC是否垂直，若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由.

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）若側棱PC上的點F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積.

參考答案：

1. D

2. C