直線、平面平行的判定與性質

重點難點

重點：掌握線線平行、線面平行的判定與性質定理，能用判定定理證明線面平行、面面平行，會用性質定理解決線面平行、面面平行的問題.

難點：線面平行與面面平行在判定中的相互轉化使用.

方法突破

線面平行的判定定理的實質是：對于平面外的一條直線，只需在平面內找出一條直線與這條直線平行，就可斷定這條直線必與這個平面平行. 線面平行的性質定理的實質是：已知線面平行，過已知直線作一平面與已知平面相交，其交線必與已知直線平行. 兩個平面平行問題的判定與證明，是將其轉化為一個平面內的直線與另一個平面平行的問題，即“線面平行，則面面平行”，必須注意這里的“線面”是指一個平面內的兩條相交直線和另一個平面.

1. 判定線線平行的三種方法

（1）公理4：證明兩直線同時平行于第三條直線.

（2）線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，且經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線與交線平行.

（3）平行平面的性質定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.

2. 判定線面平行的三種方法

（1）根據線面平行的判定定理：如果不在某個平面內的一條直線與該平面內的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行.

使用定理時，一定要說明“平面外的一條直線與平面內的一條直線平行”，若不注明該條件，則證明過程就不完備.

（2）面面平行的另一性質：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面.

（3）向量法（詳見例3）.

3. 判定面面平行的三種方法

（1）根據面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行.

（2）平行平面的判定定理推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行.

（3）向量法：如果兩個不同平面的法向量相互平行，那么就可以判定兩個平面平行.

典例精講

一、線線平行的判定

已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

思索 若證四邊形是平行四邊形，只需證一組對邊相等且平行或兩組對邊分別平行，選其一證出即可. 利用平行公理證明兩條直線平行的思路就是要找準一條直線與這兩條直線都平行的直線來傳遞.

二、線面平行是解決面面平行的紐帶

（2013年江蘇高考（節選））如圖2，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB. 過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是側棱SA，SC的中點. 求證：平面EFG∥平面ABC.

思索 證明平面EFG∥平面ABC，需要在平面EFG內找到兩條相交直線與平面ABC平行，而線面平行的判定定理告訴我們，要證明線面平行，需要轉化為證明線線平行. 因此，證明該題的關鍵是在平面內最為恰當的位置找出一條直線與該直線平行.

破解 （1）因為E，G分別是側棱SA，SC的中點，所以EG∥AC.

因為AC平面ABC，EG平面ABC，所以EG∥平面ABC.

因為AS=AB，AF⊥SB，所以F為SB的中點，所以EF∥AB.

因為AB平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC.

因為EF∩EG=E，EF，EG平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.

三、多種渠道解決線面平行的問題

破解 證法一：設AC與BD相交于G，連接EG，則G是AC的中點. 因為M是線段EF的中點，ACEF是矩形，所以EM∥AG，EM=AG，所以四邊形AGmGYTwpOJBWBwv+4aoglSsOrmpPA/jy1CC++QboQNwk8=EM是平行四邊形，所以EG∥AM. 因為AM不在平面BDE內，EG在平面BDE內，所以AM∥平面BDE.

變式練習

1. 如圖4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D不同于點C），且AD⊥DE，F為B1C1的中點. 求證：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直線A1F∥平面ADE.

2. 如圖5，在三棱錐S-ABC中，M，N，P分別為棱SA，SB，SC的中點，求證：平面MNP∥平面ABC.

3. 如圖6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D為AB的中點，求證：AC1∥平面CDB1.

參考答案

1. （1）因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因為AD平面ABC，所以CC1⊥AD. 因為AD⊥DE，且CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE=E，所以AD⊥平面BCC1B1. 又因為AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

（2）因為A1B1=A1C1，F為B1C1的中點，所以A1F⊥B1C1. 因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F. 因為CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，所以A1F⊥平面BCC1B1. 由（1）知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又因為AD平面ADE，A1F平面ADE，所以直線A1F∥平面ADE

2. 因為M，N，P分別為棱SA，SB，SC的中點，所以MN∥AB，PN∥BC. 因為MN平面ABC，AB平面ABC，PN平面ABC，BC平面ABC，所以MN∥平面ABC，PN∥平面ABC. 因為MN∩PN=N，MN，PN平面MPN. 所以平面MNP∥平面ABC.