關注思維過程 提升思維品質

抽屜原理是人教版六年級下冊第68頁的教學內容，又稱鴿巢原理。它是組合數學的一個基本原理，由這個顯而易見的原理出發可得到許多驚奇的結論。這類問題在學生的生活和認知中接觸得少之又少，同時關于抽屜原理的解釋與證明對于小學生來說是很難的。教師在執教該課時總會遇到很多困難，特別在對抽屜原理最原始的解釋與證明時，往往會造成學生的一知半解或根本不理解的情況出現。

筆者認為抽屜原理不僅是一個數學模型，它更像是一張密織著理性思考的網，縱橫交錯著一條條細而密實的邏輯思維的線。因此，教師應善于拾掇學生已有的那些邏輯思考的“線”，逐步去編織學生思考的“網”，建立對抽屜原理最真切的感知，最終提升學生的推理與思考的能力。

【教學呈現】

師出示：

師：把5個無任何區別的蘋果放進3個一樣的盤子中，可以怎么放？你們能預測一下嗎？（生思考，并踴躍舉手）

師： 我們先不急著交流，老師這里正好也有幾個結論請大家來看一下。

師出示：

（1）可能有一個盤子沒有蘋果。

（2）可能有一個盤子有5個蘋果。

（3）每個盤子一定都有蘋果。

（4）總有一個盤子至少有2個蘋果。

學生齊讀并作判斷。

生：我認為“可能有一個盤子沒有蘋果”是對的。

師：為什么？依據？

生：因為可以是第一個盤子不放，第二個放3個，第三個放2個。

生：或者是一個盤子里不放，另外兩個盤子放4個和1個。

師：嗯，一個盤子不放蘋果的情況還真有點多，可以這樣舉例來說明問題，很好。

生：我認為“可能有一個盤子有5個蘋果”也是對的。因為可以是一個盤子放5個，其他的盤子一個也不放，如果是我就這么放。

師：對。這兩個結論有一個共同點就是——

生：可能。

師：只要有可能發生就對，當然我們也可以通過舉例來驗證。

生：“每個盤子一定都有蘋果”，我認為是錯的。因為如果是這樣放：第一個盤子放5個，其他的盤子就沒得放了，所以是錯的。

師：對，說“一定”太絕對了，當然我們可以找到很多反例，來說明它是錯的。

師：還剩下最后一個結論！

生：我認為是錯的，因為它太絕對了。

生：我認為是對的，好像找不到反例。

師即時反饋學生判斷的情況：大部分學生認為是錯的，將近三分之一的學生認為是對的。

師：意見好像有點不統一啊？對這句話的意思理解嗎？

生：理解。

師：“至少”是什么意思？

生：最少。

師：“總有一個”是什么意思？

生：三個盤子中的其中之一。

師：整句話表達的又是什么意思呢？

生：不管怎么放，三個盤子中總能找到一個盤子，里面最少放2個蘋果。

師：對，當然也可以是3個、4個或者5個。那就開始驗證吧，可以舉例也可以畫圖，但要說明問題。（生驗證）

生交流方法，師板示：

“總有一個盤子至少有2個蘋果”，師生逐一驗證打鉤。

師：5個蘋果放三個盤子，所有出現的不同情況都滿足這個結論，所以說這個結論是（對的）。

師：如果說“總有一個盤子至少有3個蘋果”還對嗎？

生：不對，明明最少的情況是2個嘛。

師：如果說“總有一個盤子至少有0個蘋果”對嗎？

生：也不對，這樣就沒意義了。

生：應該看每種擺法中蘋果最多的那個。

師：嗯，很好，善于觀察的孩子。

師：那么，6個蘋果放3個盤子。你能得出怎樣的結論，為什么？

生：總有一個盤子至少有2個蘋果。

師：跟剛才的一樣？驗證一下吧。（生再次驗證）

生：我把每一種放法都寫了出來，每一種放法都是對的。

師：好的。

師：那如果10個蘋果放到9個盤子里，又會怎樣呢？

生：總有一個盤子至少有2個蘋果。

師：為什么？

生：如果每個盤子只放進一個蘋果，剩下的一個不管放在哪個盤子里，總有一個盤子至少有2個蘋果。

師：解釋得非常好。如果100個蘋果放到99個盤子中呢？你能發現點規律嗎？

生：總有一個盤子至少有2個蘋果。

生：只要蘋果數比盤子數多一個，就總有一個盤子里至少會有2個蘋果。

生：只要蘋果數比盤子數多，就總有一個盤子里至少會有2個蘋果。

……

師：很好，接下來老師給你們n個蘋果和m個盤子，任由你們處理，并把過程寫下來。

（ ）個蘋果放在（ ）個盤子中，總有一個盤子至少有（ ）個蘋果。想好自己的理由。

師生交流：

師：有同學把8個蘋果放進3個盤子中，得到的結論是總有一個盤子至少會有4個蘋果，先說說理由。

生：當每個盤子放2個蘋果之后，剩下的2個放到一個盤子里，這個盤子就有4個蘋果了。

生：不對，如果把2個蘋果分別放在兩個盤子里，就得到“總有一個盤子中至少有3個蘋果”這個結論了。

師：有同學把20個蘋果放進4個盤子中，得到的結論是總有一個盤子至少會有5個蘋果，理由？

生：因為每個盤子中放5個蘋果，20個蘋果都可放到盤子中，如果一個盤子上蘋果減少，那么另外盤子上的蘋果就會增加，所以總有一個盤子至少會有5個蘋果。

生：用20÷4=5，不是也可以算出來嗎？這樣方便。

師：不錯的提議，那剛才的那種擺法怎么算呢？

生：8÷3=2……2，2+2=4，哦，不對，應該是2+1=3。

師：為什么改了？

生：因為剩下的2個還可以放在兩個盤子里，所以最少是2+1=3。

師：恭喜你改對了。對于算式中的余數你們還有什么想法？

生：我認為余數不管是幾都只能再加1，因為剩下的蘋果還可以放到其他盤子中，每個盤子最多也只能得到一個。

師：看來我們還可以用除法算式來說明這個問題，這個方法更加簡潔明了。接下來請你用除法算式把自己的結論表示出來進行檢驗。

……

【教學反思】

抽屜原理這個教學內容盡管很難，但通過以上的教學，學生的思考與表達都很清晰，對抽屜原理的理解已相當到位，教學也較順暢，由此看來教師的教依然起著至關重要的作用。

一、不要孤立地來教抽屜原理

抽屜原理可能對學生來說（包括教師）是一個全新的命題，教師通常也習慣于順著教材的思路來教，例如幾支筆放在幾個鉛筆盒中，怎么放？有幾種方法？最后總結歸納出一個結論來就是抽屜原理。如此這樣，由教師完全帶著學生學的教法，毫無思考的張力，它無視學生已有的認知，割裂了學生已有的知識儲備與能力儲備。筆者認為，學生已有的邏輯判斷能力與經驗，是理解抽屜原理的關鍵。本課中，教師能否把學生已有的知識與能力的儲備調用出來進行推理和判斷，便是教學的關鍵。例如，在本課開始部分，充分利用“5個蘋果放在3個盤子中，怎么放”這樣一個情境，讓學生對四個結論進行對錯判斷，并說明原因。在這樣一個過程中，進一步讓學生感受關于用 “可能”與“一定”來描述一個事件，這是對學生已有關于結論對與錯的邏輯判斷的這部分經驗的喚醒與激活。同時通過用舉例的方法來說明問題，這是學生進行正確推理的一個基礎，也是本課解釋抽屜原理的一個基礎。這樣的一個教學開端，完全根植于學生已有的認知系統，并進行有機激活，從而能有效解決新問題。

二、要讓學生逐步經歷抽象的過程

通過枚舉擺法來逐一驗證，應該是說明抽屜原理最為形象也最易讓學生理解的一個方法。但這種方法也有一定的局限性，當涉及的數據偏大時，通過列舉就顯得非常煩瑣。所以，這里除了驗證之外，還要引導學生進行深入的觀察與分析，使學生能夠理解并掌握抽屜原理，這是學生數學思維的一次提升，通過進一步的教學，讓學生自主發現用除法算式來解決抽屜問題，應該是學生對抽屜原理的更為抽象、更為數學化的理解。當然，這是一種更為簡便的解釋，在以后解決類似問題時更具適用性。

（浙江省桐鄉市崇德小學 314500）