數學學習中前概念的診斷和教學干預

概念學習是小學生數學學習的起點與關鍵，然而，大量的教學實踐表明：學生在學習數學概念之前，通過日常生活的各種渠道和自身的生活實踐，對周圍與數學相關的事物及現象已有一定的認識和了解，形成了自己的觀點和看法，這種觀點和看法就是數學學習中的前概念（pre-conception） 。

學生帶著各種前概念進入數學課堂，影響著數學概念的學習。教師教學的起點，就是要了解學生具有怎樣的前概念，以促使學生的前概念向科學概念的轉變。但是，前概念有哪些類型？如何探測學生的前概念？怎樣進行合理的教學干預，使前概念順利地轉變為科學概念？一些數學教師對此知之甚少，本文將重點探討上述問題。

一、前概念的分類

關于前概念的分類，不同的學者基于不同的角度給出不同的分類。比如李高峰、劉恩山（2007年）依據前概念產生的時間，將其分為原發性前概念和繼發性前概念；依據前概念的狀態，將其分為空殼概念、不完整概念、異質性概念、條件缺失概念、絕對化概念，[1]等等。筆者基于前概念的意義，即診斷學生的前概念旨在實現向科學概念的順利轉變，故而依據前概念與科學概念的差異度，將前概念分為：與科學概念完全一致的前概念、與科學概念部分一致的前概念、與科學概念完全不同的前概念。

（一）與科學概念完全一致的前概念

在數學概念教學中，這類前概念與科學概念完全一致，如“1天有24個小時”“1年有12個月”等等，這些概念學生在日常生活中早已接觸，并且已經掌握。這類前概念對數學學習是有促進作用的，其為科學概念的學習和掌握奠定了扎實的基礎。在教學過程中，教師可以不把這些前概念作為教學重點，只要適當提及、引出即可，以便合理安排教學時間。

（二）與科學概念部分一致的前概念

這類前概念與科學概念部分一致，學生頭腦中已經知道這些概念，只是存在一定的偏差，需要進一步完善。如“圓的認識”，“圓”是日常生活中最常見的圖形，也是小學生最熟悉的一種圖形。學生對“圓”的認識與“圓”的科學概念大體一致，但是，小學生經常將“球形物體”看作是“圓形物體”。因此，教師在教學中，對這類與科學概念部分一致的前概念要加以重視，需要通過一定的教學干預來豐富或修正學生的前概念。

（三）與科學概念完全不同的前概念

這類前概念與科學概念完全不同，又稱錯誤概念，如小學生認為“角的大小和它的兩邊畫的長短有關” “長方形的周長越大，面積就越大”等等，這類錯誤的前概念會影響科學概念的學習，會阻撓科學概念的順利形成，它們是學生犯錯的地雷區，是教師教學的挑戰點。在教學過程中，教師應該花大力氣將這類前概念合理轉變為科學概念，這是教學的難點，也是學生學習的關鍵點。如果這類前概念不能很好地實現轉變，不但妨礙對新知識的理解，而且后患無窮——會使后續學習產生新的錯誤概念。

綜上所述，教師應該把教學的重點和難點定位在后兩類前概念上。與前概念的類型相呼應，概念轉變主要有兩種途徑：一是充實，二是重建。[2]充實是指在現存的概念結構中概念的增加或刪除，僅僅涉及量的變化，主要指向“與科學概念部分一致的前概念”；重建是指摧毀舊的概念結構，創造新結構，它是一種質的變化，主要指向“與科學概念完全不同的前概念”。在小學數學概念教學中，教師不但要學會分析前概念的類型，而且要依據不同的類型提供不同的概念轉變途徑，使前概念能更好地轉變為科學概念。

二、前概念的診斷

學生前概念的診斷方法有很多，小學數學教師熟悉的或者經常使用的方法有：提問法、訪談法、畫圖法，等等。還有一些方法，教師可能不太熟悉，卻能有效診斷學生數學學習的前概念，筆者在此稍作簡單介紹。

（一）概念圖分析

奧蘇伯爾指出：為了使學習有意義，學習者個體必須把新知識和已有的概念聯系起來。這里的“已有的概念”事實上就是本文提及的“前概念”。概念圖是康乃爾大學的諾瓦克博士根據奧蘇伯爾的有意義學習理論提出的一種教學技術，是一種知識的組織與表征的方式，能有效地聯結前概念和新知識。概念圖分析一般有兩個步驟，首先給學生一組概念，讓學生進行畫線連接；然后教師對這些連線進行深入分析，了解學生的前概念。如教學“角的初步認識”這一課之前，教師可以指導學生制作“角”的概念圖，了解學生對這一概念的理解程度，清楚學生對“角”的前概念，找到合適的教學切入點。

（二）二段式診斷測試

二段式診斷測試是國際上常用的問卷測試方法，該測試包括兩個部分：第一部分評價學生的具體知識，一般由選擇題構成，選項包含正確答案和錯誤答案；第二部分評價學生對知識的理解，即針對第一部分提供原因解釋，由選擇題或填空題構成，要求學生說明選擇該項的理由。并必須同時答對第一、二部分的選項，才能視為正確。與普通問卷測試相比，二段式診斷測試可減少學生猜題傾向與機會，施測結果更能表現學生內心的真實想法，更能準確測出學生的前概念。

（三）確定性指數分析

確定性指數 （Certainty of Response Index，簡稱 CRI） 是Saleem Hasan、Diola Bagayoko和Ella L Kelley（1999年）提出的，他們認為教師在教學過程中區分學生“知識的缺乏”和“錯誤概念”非常重要，于是他們通過確定性指數分析來診斷學生的錯誤概念。[3]具體操作步驟如下：首先，學生對某題作出選擇；然后，學生對自己作出的選擇進行確定性評價，即給定 CRI值。CRI值域是0～5，隨著數值的增加，確定性程度逐漸加強，其中0表示完全猜測，1表示幾乎是猜測，2表示不肯定，3表示肯定，4表示幾乎確定，5表示確定，而中間值2.5作為衡量標準，低于2.5表示低確定性，高于2.5表示高確定性。確定性指數分析即依據學生作出的選擇和CRI值進行分析，當確定性指數低于2.5，不論是正確或是錯誤的回答，都可以診斷為缺乏知識；當確定性指數高于2.5，正確的回答可以診斷為具有正確概念，而錯誤的回答則診斷為具有錯誤概念（如表1）。確定性指數分析可以幫助教師診斷學生前概念的類型，尤其對錯誤概念的診斷具有重要意義。

最后，補充說明一下前概念診斷方法的時效性。一般而言，上述各種方法既可以安排在教學前，也可以安排在教學后，當然，不同時間的安排意義是截然不同的。教學前的診斷，目的往往是了解學生的前概念，以便及時進行教學干預；教學后的診斷，往往是探測學生通過教學是否已將前概念（尤其是錯誤概念）成功轉變為科學概念，以便為有效的概念轉變教學提供良好的反饋。

三、前概念的教學干預

前概念的教學干預，實則進行合理的概念轉變教學。教師分析前概念的類型，診斷學生的前概念，旨在教學過程中進行合理的概念轉變，使學生的前概念能順利轉變為科學概念。從建構主義的角度看，概念轉變教學是學生前概念改變、發展和重建的過程，這是一個十分復雜的認知建構過程，教師應注意以下幾點。

（一）創設認知沖突點

波斯納等人在皮亞杰認知建構理論和庫恩“范式更替觀”的基礎上，提出了概念轉變學習的條件理論。[4]為了促使學生進行概念轉變，他們認為必須提供4個條件：①對已有概念的不滿；②新概念的可理解性；③新概念的合理性；④新概念的有效性。其中第一個條件“對已有概念的不滿”是概念轉變的前提條件，也是4個條件中唯一關注“已有概念”的條件。學生只有感到自己的某個概念失去作用，他才可能改變原概念。也就是說，在小學數學概念學習中，學生只有對自己已有的前概念產生不滿，才有可能進一步促進概念轉變，該條件是概念教學的起始點，也是教師進行教學干預的落腳處。

那么，如何讓學生對已有概念產生不滿呢？最好的做法是——創設認知沖突。認知沖突是一種認知矛盾，在學生原有認知結構和新知識之間產生的無法包容的矛盾，也是學生前概念和新概念之間最初的“不協調”。教師只有深入了解學生的前概念，才能合理創設認知沖突點，并且，認知沖突越強烈，學生對已有概念的不滿也會越強烈，這點與我們生活中的其他“沖突”案例有異曲同工之處。

從認知沖突產生的原因來看，認知沖突大致分為兩類：第一類是與實驗結果相沖突，即學生通過動手操作，發現實驗結果與預測（前概念）截然不同；第二類是與他人觀點相沖突，即學生通過討論、對話等形式，發現自己的觀點與他人的觀點有明顯差異。此處“他人”的觀點，在課堂情境中，既包括教師的觀點，也包括其他學生的觀點。教學過程中，教師應重視學生之間觀點的沖突，那是實現概念轉變教學的契機。鐘啟泉教授指出：“處于同樣認知水準的同學之間通過略有差異的觀點與認識的碰撞，各自產生內部的認知沖突，這種認知矛盾的解決將會引起每—個個體內部的知識的重新建構”。[5]針對這兩類認知沖突，教師在教學過程中應依據客觀情況創設沖突情境，既可以創設需要學生實際操作的實驗情境，也可以創設小組合作的討論情境，還可以通過教師直接提問創設沖突點，激發學生的求知欲和探索心向。當然，情境的創設往往是綜合的，很多沖突情境既有師生對話，又有生生對話，更有動手操作。如教學“角的大小”時，為了轉變學生的錯誤概念“角的大小和它的兩邊畫的長短有關”，教師可以創設這樣一個問題情境：“同學們，你們覺得鱷魚媽媽（見圖1）的嘴巴張得大，還是鱷魚寶寶（見圖2——圖1的縮小版）的嘴巴張得大？”在這個過程中不同的學生會呈現不同的答案，那些有著錯誤前概念的學生會產生認知沖突，教師可以引導學生合作學習，進行充分的生生對話，最后通過實驗測量得出正確答案。

（二）讀懂概念“時空區”

有人把前概念表述為“發展中概念”（Developing Conception），確實，概念轉變不是一朝一夕、一蹴而就的事情。學生的認知發展及前概念自身的發展都要經歷一片時空區。概念轉變教學中，教師不能急于求成，要學會讀懂學生概念的“時空區”，要學會包容學生的錯誤概念，真誠地等待學生的生長，保持良好的教學心態。

學生的認知發展有一片時空區。概念轉變是一個不斷發展、深化的過程，對同一個事物受制約于前概念的影響，不同年齡階段的學生會出現不同的認知結果。奧蘇伯爾認為：當學生認知尚不成熟、心理準備尚未充分的情況下，強迫學生進行概念學習，必然會使學生產生錯誤概念。如吳嫻等人作過一項關于兒童對于速度概念的研究，結果發現：低年級兒童的速度概念有其特殊性，并不是以度量的形式出現，而是以序數的形式出現，具有位置決定傾向。幼兒園大班學生的速度概念持明顯的位置決定論；一年級學生的速度概念與幼兒園大班學生相比，有一定的進步；三年級學生的速度概念與幼兒園大班學生相比，有了很大提高，超過半數的學生不再持位置決定論，能夠對運動物體進行動態分析，表現出對距離和時間的綜合考慮。[6]學生前概念的發展也有一片時空區。前概念一旦形成，就會有思維定勢，在學生頭腦中根深蒂固，具有 “頑固性”，因而前概念向科學概念的轉變并不是一帆風順的。甚至學生在學習科學概念后，前概念仍然很難在一個有限的學習時間里徹底消除，很容易形成反復，并且先前的知識結構還會對新的知識結構產生負面影響，出現負遷移。由此可見，前概念的發展軌跡錯綜復雜，時空感很強。如教學“分數除法”時，對于“2除以等于8”，某生不能理解，疾呼：“商怎么可能比被除數大，簡直沒有邏輯！”教師這時不能簡單批評該生。事實上，該生的觀點是符合其自身概念轉變路徑的，該生帶著前概念進入課堂，認為“除法意義”要溝通“除法與平均分”的聯系，此時，該生正在溝通“除法與平均分”的聯系，他不能理解“分到的東西居然比要分的東西還多”。這個案例中，生活化與數學化的矛盾出現了，有些數學內容是很難用具體的生活情境加以解讀的，而學生的前概念仍停留在生活化的數學中，在前概念和科學概念之間找不到合適的橋梁過渡的時候，怎么辦？有些學生就簡單地背誦分數除法的計算法則：甲數除以乙數（零除外），等于甲數乘以乙數的倒數。這也不失為一種方法！這個案例中，還出現了“負遷移”，先前學習的科學概念卻成為新知識的絆腳石！確實，這種情況也是存在的，我們知道，科學知識的發展和探索是永無止境的，當新的科學理論出現時，舊理論往往就成為與“科學概念部分一致的前概念”。

教師在這個過程中，能做什么呢？首先，當然是讀懂概念的“時空區”，對學生的認知發展和前概念的發展軌跡，做到知根知底。其次，教師在了解的基礎上，應該具有一種大氣的心態，能包容學生由于這方面的原因而犯下的錯誤，還能在概念時空區里耐心等待，靜靜地聆聽花開的聲音，直到瓜熟蒂落。

參考文獻：

[1]李高峰，劉恩山.前科學概念的研究進展[J].內蒙古師范大學學報（哲學社會科學版）， 2007（04）： 62～67.

[2] Hsiao—Ching She.Fostering Radical Conceptual Change through Dual-Situated Learning Model[J]. Journal of Research in Science Teaching，2004. （2）：142～164.

[3] Saleem Hasan，Diola Bagayoko，and EllaL Kelley.Misconception and the certainty of response index（CRI）[J].Phys.Educ，1999，34（5）：194～299.

[4]GJ.Posner，K. A. Strike，P. W. Hewson，W. A. Gertzog. Accommodation of a scientific conception： Toward a theory of conceptual change[J].Science Education，1982. 66：211～227.

[5]鐘啟泉.社會建構主義：在對話與合作中學習[J].上海教育，2001（7）：45～48.

[6]吳嫻.一項關于低年級兒童速度概念發展的研究[J].廣西師范大學學報（哲學社會科學版），2005（11）：95～98.

（華東師范大學 200062

浙江外國語學院教育科學學院 310012）